第四章：三角函数 第一阶段：任意角的三角函数
一选择题：（5分×12=60分）
1．下列叙述正确的是( )
A．180°的角是第二象限的角 B．第二象限的角必大于第一象限的角
C．终边相同的角必相等 D．终边相同的角的同名三角函数值相等
2．已知点P(tanα,cosα)在第三象限,则角α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞12”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知sinα＞sinβ，则下列命题成立的是( )
A．若α.β是第一象限角，则cosα＞cosβ．
B．若α.β是第二象限角，则tanα＞tanβ．
C．若α.β是第三象限角，则cosα＞cosβ．
D．若α.β是第四象限角，则tanα＞tanβ．
5．以下四种化简过程,其中正确的个数是( )
①．sin(360°+220°)=sin220°； ②．sin(180°-220°)= - sin220°；
③．sin(180°+220°)= sin220； ④．sin(-220°)= sin220
A．1 B．2 C．3 D．4
6．cot(α－4π)·cos(α＋π)·sin2(α－3π)tan(π＋α)·cos3(－α－π)的结果是( )
A．1 B．0 C．－1 D．12
7．设sin123°＝a，则tan123°＝( )
A．1－a2a B．a1－a2 C．1－a2 1－a2 D．a1－a2 a2－1
8．α为第二象限角，P(x, 5)为其终边上一点，且cosα＝24x，则x值为( )
A．3 B．±3 C．－3 D．－2
9．在△ABC中,下列表达式为常数的是( )
A．sin(A+B)+sinC； B．sin(B+C)-cosA；
C．sin2(A+C)+cos2B； D．tanC-tan(A+B)．
10．已知以下四个函数值：①sin(nπ＋π3)，②sin(2nπ±π3)，③sin[nπ＋(－1)nπ3]，④cos[2nπ＋(－1)nπ6]，其中n∈Z，与sinπ3的值相同的是( )
A．①② B．①④ C．③④ D．②③
11．已知集合A＝{x|x＝cosnπ3，n∈Z}，B＝{x|x＝sin(2n－3)π6，n∈Z}，则( )
A．B ≠ A B．A ≠ B C．A＝B D．A∩B＝φ
12．若α满足sinα－2cosαsinα＋3cosα＝2，则sinα·cosα的值等于( )
A．865 B．－865 C．±865 D．以上都不对
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
二、填空题：（4分×4=16分）
13．tan300°+cot765°=＿＿＿＿＿．
14．函数y＝|sinx|sinx＋cosx|cosx|＋|tanx|tanx＋cotx|cotx|的值域为＿＿＿＿＿＿．
15．已知cos(75°＋α)＝13，其中α为第三象限角，则cos(105°－α)＋sin(α－105°)＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
16．已知sinθ－cosθ＝12，则sin3θ－cos3θ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
三、解答题：（74分）
17．（10分）化简: 1-cos4α-sin4α1- cos6α-sin6α ．
18．（12分）已知扇形的周长为L，问当扇形的圆心角α和半径R各取何值时，扇形面积最大？
19．（12分）已知cosα＝m，(|m|≤1)，求sinα，tanα的值．
20．(12分)证明: 已知sin2α+5sinα-4sinαcosα-20cosα=0,求下列各式的值．
(1) 4sinα-6cosα3cosα-2sinα ; (2) sin2α-3sinαcosα+9cos2α
21．（14分）已知关于x的方程2x2－(3＋1)x＋m＝0的两根为sinθ和cosθ，θ∈(0,2π)，求：
(1) sinθ1－cotθ＋cosθ1－tanθ的值；
(2)m的值；
(3)方程的两根及此时θ的值．
22．（14分）已知sin(3π-α)=2sin(2π+β),3cos(-α)= -2cos(π+β),且0<α<π,0<β<π,求sinα及sinβ的值.
答案：
1．D 2．B 3．B 4．D 5．A 6．A 7．D 8．C 9．C 10．C 11．C 12.B
13．1-3 14．{－2,0,4} 15．22－13 16．1116
17．解：原式= 1-[(cos2α+sin2α)2-2 sin2αcos2α]1-( cos2α+ sin2α)( cos4α- sin2αcos2α+sin4α)
= 2sin2αcos2α1-(1-3 sin2αcos2α)
= 23
18．解：∵L＝2R＋αR，S＝12αR2．
∴α＝2SR2．
∴L＝2R＋2SR 2R2－LR＋2S＝0．
△＝L2－16S≥0 S≤L216．
故当α＝2．R＝L4时，Smax＝L216．
19．解：当|m|＝1时，α＝kπ(k∈Z)．sinα＝0，tanα＝0．
当m＝0时，α＝kπ＋π2(k∈Z)，sinα＝±1，tanα不存在．
当0＜|m|＜1时，α为象限角．
若α为一、二象限角，则sinα＝1－m2，tanα＝1－m2m，
若α为三、四象限角，则sinα＝－1－m2，tanα＝－1－m2m，
20．(1)∵ sin2α+5sinα-4sinαcosα-20cosα=0
∴sinα(sinα-4cosα) + 5(sinα-4cosα)=0.
即(sinα-4cosα) (sinα+5)=0,
∴sinα=4cosα或 sinα= -5(舍).
∴4sinα-6cosα3cosα-2sinα = 16cosα-6 cosα3 cosα-8 cosα = 10 cosα-5 cosα = -2.
(2) 由(1)知sinα=4cosα ∴tanα=4
∴sin2α-3sinαcosα+9cos2α= sin2α-3sinαcosα+9cos2αsin2α+cos2α
= tan2α-3 tanα+9tan2α+1
= 16-12+916+1
= 1317
21．解：依题得：sinθ＋cosθ＝3＋12，sinθcosθ＝m2．
∴(1)原式＝sin2θ sinθ－cosθ＋cos2θ－sinθ＋cosθ＝sinθ＋cosθ＝3＋12；
(2)m＝2 sinθcosθ＝(sinθ＋cosθ)2－1＝32．
(3)∵sinθ＋cosθ＝3＋12．
∴| sinθ－cosθ|＝3－12．
∴方程两根分别为32，12．
∴θ＝π6或π3．
22．解：由条件得：
sinα＝2sinβ ① 3cosα＝2cosβ ② ①2＋②2得：sin2α＋3cos2α＝2．
∴cos2α＝12．
∵α∈(－π2,π2)．
∴α＝π4或－π4．
将α＝π4代入②得：cosβ＝32，又β∈(0,π)．
∴β＝π6代入①适合，
将α＝－π4代入①得sinβ＜0不适合，
综上知存在α＝π4β＝π6 满足题设．
编辑者：广州家教（广州家教网)
