一． 考纲要求
导数的概念及其运算，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值，尤其是利用导数研究函数的单调性和极值。
二． 思路点拨
1． 求函数 极值的步骤：
（1） 求导数 ；（2）求方程 =0的根；（3）检查 =0的根的左右区间对应的 的符号：若左正右负，则 在这个根处取得极大值；若左负右正，则 在这个根处取得极小值。（注：实质为‘解方程’，解关于 的方程 =0）
2． 设函数 在 上连续，在 内可导，求 在 上的最值的步骤：
（1） 求 在 内的极值；（2）将 各极值与 ， 比较，确定 的最大和最小值。
3．求函数 的单调区间：不等式 的解集为 的增区间；不等式 的解集为 的减区间。（注：求函数的单调区间实质上是‘解不等式’）
三．命题方向
以我们所学习的初等函数为背景，考察复合函数以及超越函数的最值问题，同时也考察对于参数的分类讨论，方向明确。估计09年的导数试题方向不变，但是在函数解析式方面要加以突破了，比如可能要考察与三角函数有关的函数的最值问题。
三． 典型例题
例一（1）曲线 在点（1，-1）处的切线方程为（ ）
A． B。 C。 D。
(2) 函数y＝ x2＋1的图象与直线y＝x相切，则 ＝ ( )
A． B． C． D．1
答案为:BB
运用导数几何意义进行分析求解。
例二．（1）．若函数 是R是的单调函数，则实数 的取值范围是
（2）．设点 是曲线 上的任意一点， 点处切线倾斜角为 ，则角 的取值范围是 。
答案1、 2、
结合导数的判定单调性的方法，进行逆向分析求解。
例三．1．已知函数 的图象过点P（0,2）,且在点M 处的切线方程为 .
（Ⅰ）求函数 的解析式；（Ⅱ）求函数 的单调区间.
1．解：（Ⅰ）由 的图象经过P（0，2），知d=2，
所以
由在 处的切线方程是 ，知
故所求的解析式是
（Ⅱ）
解得 当
当
故 内是增函数，
在 内是减函数，在 内是增函数.
2．已知函数 在 处取得极值.
（Ⅰ）讨论 和 是函数 的极大值还是极小值；
（Ⅱ）过点 作曲线 的切线，求此切线方程.
2．（Ⅰ）解： ，依题意， ，即
解得 .
∴ .
令 ，得 .
若 ，则 ，
故 在 上是增函数， 在 上是增函数.
若 ，则 ，故 在 上是减函数.
所以， 是极大值； 是极小值.
（Ⅱ）解：曲线方程为 ，点 不在曲线上.
设切点为 ，则点M的坐标满足 .
因 ，故切线的方程为
注意到点A（0，16）在切线上，有
化简得 ，解得 .
所以，切点为 ，切线方程为 .
3．已知向量 在区间（－1，1）上是增函数，求t的取值范围.
3．解：依定义
的图象是开口向下的抛物线，
4．已知函数
（1）当 时，求函数 极小值；（2）试讨论曲线 与 轴公共点的个数。
4．解：（1） 极小值为
（2）①若 ，则 ， 的图像与 轴只有一个交点；
②若 ， 极大值为 ， 的极小值为 ，
的图像与 轴有三个交点；
③若 ， 的图像与 轴只有一个交点；
④若 ，则 ， 的图像与 轴只有一个交点；
⑤若 ，由（1）知 的极大值为 ， 的图像与 轴只有一个交点；
综上知，若 的图像与 轴只有一个交点；若 ， 的图像与 轴有三个交点。
5．已知 是函数 的一个极值点，其中 ，
（I）求 与 的关系式； （II）求 的单调区间；
（III）当 时，函数 的图象上任意一点的切线斜率恒大于3 ，求 的取值范围.
5．解(I) 因为 是函数 的一个极值点,
所以 ,即 ，所以
（II）由（I）知， =
当 时，有 ，当 变化时， 与 的变化如下表：
1
0
0
调调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
故有上表知，当 时， 在 单调递减，
在 单调递增，在 上单调递减.
（III）由已知得 ，即
又 所以 即 ①
设 ，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，
所以 解之得
又
所以
即 的取值范围为
6．已知两个函数 ， .
（Ⅰ）若对任意 [－3，3]，都有 ≤ 成立，求实数 的取值范围；
（Ⅱ）若对任意 [－3，3]， [－3，3]，都有 ≤ 成立，求实数 的取值范围
6．略
7．设函数 在 及 时取得极值．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若对于任意的 ，都有 成立，求c的取值范围．
7．解：（Ⅰ） ，
因为函数 在 及 取得极值，则有 ， ．
即
解得 ， ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ，
．
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
所以，当 时， 取得极大值 ，又 ， ．
则当 时， 的最大值为 ．
因为对于任意的 ，有 恒成立，
所以 ，
解得 或 ，
因此 的取值范围为
小结：对于导数的知识点，一要理解概念，二要运用几何意义进行分析问题，三就要巧用运用导数的符号来判定函数单调性的方法来求最值。四就要对参数问题的讨论要到位，注意分类的原则。
编辑者：广州家教（广州家教网)
