一．选择题：每题5分，共60分
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．若 为实数，且 ，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
3．已知命题 ：对任意 ，总有 ； ：“ ”是“ ”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
4．等比数列 满足 ， ，则 （ ）
A．21 B．42 C．63 D．84
5．设函数 ，则 （ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
6．某几何体的三视图（ 单位： ）若图所示，则该几何体的体积是（ ）
A． B． C． D．
7．若圆 ： 与圆 ： 外切，则 （ ）
A．21 B．19 C．9 D．
8．执行如图所示的程序框图，如果输入 ，则输出的 （ ）
A． B． C． D．
9．已知底面边长为1，侧棱长为 的正四棱柱的各顶点均 在同一个球面上，则该球的体积 为（ ）A． B． C． D．
10．在同一直角坐标系中，函数 ， 的图像可能是（ ）
11．已知 ， 为双曲线 的左，右顶点，点 在 上， 为等腰三角形，且顶角为 ，则 的离心率为（ ）A． B．2 C． D．
12．设函数 是奇函数 的导函数， ，当 时， ，则使得 成立的 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选做题，考生根据要求做答．
二．填空题：每题5分，共20分
13．设向量 ， 不平行，向量 与 平行，则实数 ．
14．若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为 ．
15．（理）在 的展开式中，常数项等于 ．（结果用数值表示）
（文）已知函数 的图象过点 ，则 ．
16．设 是数列 的前 项和，且 ， ，则 ．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）在 中，已知 ， ， ．
（1）求 的长；（2）求 的值．
18．（本小题满分12分）（理）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．
（1）从盒中一次随机抽出2个球，求取出的2个球的颜色相同的概率；
（2）从盒中一次随机 抽出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别为 ， ， ，随机变量 表示 ， ， 的最大数，求 的概率分布和数学期望 ．
（文）海关对同时从 ， ， 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如下表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽 取6件进行检测．
（1）求这6件样品中来自 ， ， 各地区商品的数量；
（2）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
19．（本小题满分12分）（理）如图，三角形 所在的平面与长方形 所在的平面垂直， ， ， ．点 是 的中点，点 ， 分别在线段 ， 上，且 ， .
（1）证明： ；
（2）求二面角 的正切值；
（3）求直线 与直线 所成角的余弦值.
（文）如图，三角形 所在的平面与长方形 所在的平面垂直， ， ， ．
（1）证明： ∥平面 ；
（2）证明： ；
（3）求点 到平面 的距离．
20．（本小题满分12分）设 ， 分别是椭圆 ： 的左、右焦点，过点 的直线交椭圆 于 ， 两点， ．
（1）若 ， 的周长为16，求 ；
（2）若 ，求椭圆 的离心率．
21．（本小题满分12分）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有最大值，且最大值大于 时，求 的取值范围．
四．选考题：请考生在22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图， 为等腰三角形 内一点，圆 与 的底边 交于 ， 两点，与底边上的高 交于点 ，且与 ， 分别相切于 ， 两点．
（1）证明： ∥ ；
（2）若 等于圆 的半径，且 ，求四边形 的面积．
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，曲线 ： （ 为参数， ），其中 ．在以 为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 ： ， ： ．
（1）求 与 交点的直角坐标；
（2）若 与 相交于点 ， 与 相交于点 ，求 的最大值．
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设函数 ， ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）设 ，且当 时， ，求 的取值范围．
高三数学综合测试一
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分
案 A B D B C B C B D D D A
13． ；14． ；15．240（ ）；16． ；
17．（1） ；（2） ；
（2） ，利用余弦定理求得 ；
18．（理）（1） ；（2） 的可能取值为2，3，4，相应概率为， ， ， ， ；
（文）（1）1，3，2；（2） ；
19．（理）（1）略；（2） ；（3） ；（文）（1）略；（2）略；（3） ；
20．（1）5；（2） ；
21．（1） 时， 在 上单调递增，当 时，增区间： ，减区间： ；（2） ；
22．（1） ， ， ∥ ；
（2）连 ， ， ，从而 ， ，
；
23．（1） ， ；（2） ；
24．（1） ；（2） ；
编辑者：广州家教（广州家教网)
