导数单元检测二
29．已知函数 在区间 ， 内各有一个极值点．
（I）求 的最大值；
（II）当 时，设函数 在点 处的切线为 ，若 在点 处穿过函数 的图象（即动点在点 附近沿曲线 运动，经过点 时，从 的一侧进入另一侧），求函数 的表达式．
解：（I）因为函数 在区间 ， 内分别有一个极值点，所以 在 ， 内分别有一个实根，
设两实根为 （ ），则 ，且 ．于是
， ，且当 ，即 ， 时等号成立．故 的最大值是16．
（II）解法一：由 知 在点 处的切线 的方程是
，即 ，
因为切线 在点 处空过 的图象，
所以 在 两边附近的函数值异号，则
不是 的极值点．
而 ，且
．
若 ，则 和 都是 的极值点．
所以 ，即 ，又由 ，得 ，故 ．
解法二：同解法一得
．
因为切线 在点 处穿过 的图象，所以 在 两边附近的函数值异号，于是存在 （ ）．
当 时， ，当 时， ；
或当 时， ，当 时， ．
设 ，则
当 时， ，当 时， ；
或当 时， ，当 时， ．
由 知 是 的一个极值点，则 ，
所以 ，又由 ，得 ，故 ．
30．已知函数 ， ．
（I）证明：当 时， 在 上是增函数；
（II）对于给定的闭区间 ，试说明存在实数 ，当 时， 在闭区间 上是减函数；
（III）证明： ．
31．已知函数 ， ，且对任意的实数 均有 ， ．
（I）求函数 的解析式；
（II）若对任意的 ，恒有 ，求 的取值范围．
32．设函数 ．
（Ⅰ）证明： 的导数 ；
（Ⅱ）若对所有 都有 ，求 的取值范围．
解：（Ⅰ） 的导数 ．
由于 ，故 ．
（当且仅当 时，等号成立）．
（Ⅱ）令 ，则
，
（ⅰ）若 ，当 时， ，
故 在 上为增函数，
所以， 时， ，即 ．
（ⅱ）若 ，方程 的正根为 ，
此时，若 ，则 ，故 在该区间为减函数．
所以， 时， ，即 ，与题设 相矛盾．
综上，满足条件的 的取值范围是 ．
33．设函数 在 及 时取得极值．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若对于任意的 ，都有 成立，求c的取值范围．
解：（Ⅰ） ，
因为函数 在 及 取得极值，则有 ， ．
即
解得 ， ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ，
．
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
所以，当 时， 取得极大值 ，又 ， ．
则当 时， 的最大值为 ．
因为对于任意的 ，有 恒成立，
所以 ，
解得 或 ，
因此 的取值范围为 ．
34．已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）设 ，如果过点 可作曲线 的三条切线，证明： ．
解：（1）求函数 的导数； ．
曲线 在点 处的切线方程为：
，
即 ．
（2）如果有一条切线过点 ，则存在 ，使
．
于是，若过点 可作曲线 的三条切线，则方程
有三个相异的实数根．
记 ，
则
．
当 变化时， 变化情况如下表：
0
0
0
极大值
极小值
由 的单调性，当极大值 或极小值 时，方程 最多有一个实数根；
当 时，解方程 得 ，即方程 只有两个相异的实数根；
当 时，解方程 得 ，即方程 只有两个相异的实数根．
综上，如果过 可作曲线 三条切线，即 有三个相异的实数根，则
即 ．
35．已知函数
在 处取得极大值，在 处取得极小值，且 ．
（1）证明 ；
（2）若z=a+2b,求z的取值范围。
解：求函数 的导数 ．
（Ⅰ）由函数 在 处取得极大值，在 处取得极小值，知 是 的两个根．
所以
当 时， 为增函数， ，由 ， 得 ．
（Ⅱ）在题设下， 等价于 即 ．
化简得 ．
此不等式组表示的区域为平面 上三条直线： ．
所围成的 的内部，其三个顶点分别为： ．
在这三点的值依次为 ．
所以 的取值范围为 ．
36．设函数 ，其中 ．
（Ⅰ）当 时，判断函数 在定义域上的单调性；
（Ⅱ）求函数 的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数 ，不等式 都成立．
解：（Ⅰ）由题意知， 的定义域为 ，
设 ，其图象的对称轴为 ，
．
当 时， ，
即 在 上恒成立，
当 时， ，
当 时，函数 在定义域 上单调递增．
（Ⅱ）①由（Ⅰ）得，当 时，函数 无极值点．
② 时， 有两个相同的解 ，
时， ，
时， ，
时，函数 在 上无极值点．
③当 时， 有两个不同解， ， ，
时， ， ，
即 ， ．
时， ， 随 的变化情况如下表：
极小值
由此表可知： 时， 有惟一极小值点 ，
当 时， ，
，
此时， ， 随 的变化情况如下表：
极大值
极小值
由此表可知： 时， 有一个极大值 和一个极小值点 ；
综上所述：
时， 有惟一最小值点 ；
时， 有一个极大值点 和一个极小值点 ；
时， 无极值点．
（Ⅲ）当 时，函数 ，
令函数 ，
则 ．
当 时， ，所以函数 在 上单调递增，
又 ．
时，恒有 ，即 恒成立．
故当 时，有 ．
对任意正整数 取 ，则有 ．
所以结论成立．
37．设函数 ，其中 ．
证明：当 时，函数 没有极值点；当 时，函数 有且只有一个极值点，并求出极值．
证明：因为 ，所以 的定义域为 ．
．
当 时，如果 在 上单调递增；
如果 在 上单调递减．
所以当 ，函数 没有极值点．
当 时，
令 ，
将 （舍去）， ，
当 时， 随 的变化情况如下表：
0
极小值
从上表可看出，
函数 有且只有一个极小值点，极小值为 ．
当 时， 随 的变化情况如下表：
0
极大值
从上表可看出，
函数 有且只有一个极大值点，极大值为 ．
综上所述，
当 时，函数 没有极值点；
当 时，
若 时，函数 有且只有一个极小值点，极小值为 ．
若 时，函数 有且只有一个极大值点，极大值为 ．
38．设函数f(x)= 其中a为实数.
(Ⅰ)若f(x)的定义域为R,求a的取值范围;
(Ⅱ)当f(x)的定义域为R时，求f(x)的单减区间.
解：（Ⅰ） 的定义域为 ， 恒成立， ，
，即当 时 的定义域为 ．
（Ⅱ） ，令 ，得 ．
由 ，得 或 ，又 ，
时，由 得 ；
当 时， ；当 时，由 得 ，
即当 时， 的单调减区间为 ；
当 时， 的单调减区间为 ．
39．已知 在区间[0,1]上是增函数,在区间 上是减函数,又
(Ⅰ)求 的解析式;
(Ⅱ)若在区间 (m＞0)上恒有 ≤x成立,求m的取值范围.
解：（Ⅰ） ，由已知 ，
即 解得
， ， ， ．
（Ⅱ）令 ，即 ，
， 或 ．
又 在区间 上恒成立， ．
已知函数 ，常数 ．
（1）讨论函数 的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数 在 上为增函数，求 的取值范围．
解：（1）当 时， ，
对任意 ， ， 为偶函数．
当 时， ，
取 ，得 ，
，
函数 既不是奇函数，也不是偶函数．
（2）解法一：设 ，
，
要使函数 在 上为增函数，必须 恒成立．
，即 恒成立．
又 ， ．
的取值范围是 ．
解法二：当 时， ，显然在 为增函数．
当 时，反比例函数 在 为增函数，
在 为增函数．
当 时，同解法一．
40． 已知函数 ，常数 ．
（1）当 时，解不等式 ；
（2）讨论函数 的奇偶性，并说明理由．
解： （1） ，
，
．
原不等式的解为 ．
（2）当 时， ，
对任意 ， ，
为偶函数．
当 时， ，
取 ，得 ，
，
函数 既不是奇函数，也不是偶函数．
41．设函数 .
(Ⅰ)当x=6时,求 的展开式中二项式系数最大的项;
(Ⅱ)对任意的实数x,证明 ＞
(Ⅲ)是否存在 ,使得an＜ ＜ 恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由.
本题考察函数、不等式、导数、二项式定理、组合数计算公式等内容和数学思想方法。考查综合推理论证与分析解决问题的能力及创新意识。
（Ⅰ）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是
（Ⅱ）证法一：因
证法二：因
而
故只需对 和 进行比较。
令 ，有
由 ，得
因为当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，所以在 处 有极小值
故当 时， ，
从而有 ，亦即
故有 恒成立。
所以 ，原不等式成立。
（Ⅲ）对 ，且
有
又因 ，故
∵ ，从而有 成立，
即存在 ，使得 恒成立。
42．设函数 为奇函数，其图象在点 处的切线与直线 垂直，导函数 的最小值为 ．
（Ⅰ）求 ， ， 的值；
（Ⅱ）求函数 的单调递增区间，并求函数 在 上的最大值和最小值．
解析：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力．
（Ⅰ）∵ 为奇函数，
∴
即
∴
∵ 的最小值为
∴
又直线 的斜率为
因此，
∴ ， ， ．
（Ⅱ） ．
，列表如下：
极大
极小
所以函数 的单调增区间是 和
∵ ， ，
∴ 在 上的最大值是 ，最小值是 ．
（天津理 20）
已知函数 ，其中 ．
（Ⅰ）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）当 时，求函数 的单调区间与极值．
本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．满分12分．
（Ⅰ）解：当 时， ， ，
又 ， ．
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 ．
（Ⅱ）解： ．
由于 ，以下分两种情况讨论．
（1）当 时，令 ，得到 ， ．当 变化时， 的变化情况如下表：
0
0
极小值
极大值
所以 在区间 ， 内为减函数，在区间 内为增函数．
函数 在 处取得极小值 ，且 ，
函数 在 处取得极大值 ，且 ．
（2）当 时，令 ，得到 ，当 变化时， 的变化情况如下表：
0
0
极大值
极小值
所以 在区间 ， 内为增函数，在区间 内为减函数．
函数 在 处取得极大值 ，且 ．
函数 在 处取得极小值 ，且 ．
设函数 （ ），其中 ．
（Ⅰ）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）当 时，求函数 的极大值和极小值；
（Ⅲ）当 时，证明存在 ，使得不等式 对任意的 恒成立．
本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程，函数的极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．满分14分．
（Ⅰ）解：当 时， ，得 ，且
， ．
所以，曲线 在点 处的切线方程是 ，整理得
．
（Ⅱ）解：
．
令 ，解得 或 ．
由于 ，以下分两种情况讨论．
（1）若 ，当 变化时， 的正负如下表：
因此，函数 在 处取得极小值 ，且
；
函数 在 处取得极大值 ，且
．
（2）若 ，当 变化时， 的正负如下表：
因此，函数 在 处取得极小值 ，且
；
函数 在 处取得极大值 ，且
．
（Ⅲ）证明：由 ，得 ，当 时，
， ．
由（Ⅱ）知， 在 上是减函数，要使 ，
只要
即
①
设 ，则函数 在 上的最大值为 ．
要使①式恒成立，必须 ，即 或 ．
所以，在区间 上存在 ，使得 对任意的 恒成立．
设 ，对任意实数 ，记 ．
（I）求函数 的单调区间；
（II）求证：（ⅰ）当 时， 对任意正实数 成立；
（ⅱ）有且仅有一个正实数 ，使得 对任意正实数 成立．
本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．满分15分．
（I）解： ．
由 ，得
．
因为当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
故所求函数的单调递增区间是 ， ，
单调递减区间是 ．
（II）证明：（i）方法一：
令 ，则
，
当 时，由 ，得 ，
当 时， ，
所以 在 内的最小值是 ．
故当 时， 对任意正实数 成立．
方法二：
对任意固定的 ，令 ，则
，
由 ，得 ．
当 时， ．
当 时， ，
所以当 时， 取得最大值 ．
因此当 时， 对任意正实数 成立．
（ii）方法一：
．
由（i）得， 对任意正实数 成立．
即存在正实数 ，使得 对任意正实数 成立．
下面证明 的唯一性：
当 ， ， 时，
， ，
由（i）得， ，
再取 ，得 ，
所以 ，
即 时，不满足 对任意 都成立．
故有且仅有一个正实数 ，
使得 对任意正实数 成立．
方法二：对任意 ， ，
因为 关于 的最大值是 ，所以要使 对任意正实数成立的充分必要条件是：
，
即 ， ①
又因为 ，不等式①成立的充分必要条件是 ，
所以有且仅有一个正实数 ，
使得 对任意正实数 成立．
已知函数 (x>0)在x = 1处取得极值--3--c，其中a,b,c为常数。
（1）试确定a,b的值；
（2）讨论函数f(x)的单调区间；
（3）若对任意x>0，不等式 恒成立，求c的取值范围。
解：（I）由题意知 ，因此 ，从而 ．
又对 求导得
．
由题意 ，因此 ，解得 ．
（II）由（I）知 （ ），令 ，解得 ．
当 时， ，此时 为减函数；
当 时， ，此时 为增函数．
因此 的单调递减区间为 ，而 的单调递增区间为 ．
（III）由（II）知， 在 处取得极小值 ，此极小值也是最小值，要使 （ ）恒成立，只需 ．
即 ，从而 ，
解得 或 ．
所以 的取值范围为 ．
用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
（20）（本小题12分）
解：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为
.
故长方体的体积为
从而
令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.
当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜ 时，V′（x）＜0，
故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。
从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.
答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。
编辑者：广州家教（广州家教网)
