20．设函数 为奇函数，其图象在点 处的切线与直线 垂直，导函数 的最小值为 ．
（Ⅰ）求 ， ， 的值；
（Ⅱ）求函数 的单调递增区间，并求函数 在 上的最大值和最小值．
解析：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力．
21.已知函数 ，其中 ．
（Ⅰ）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）当 时，求函数 的单调区间与极值．
本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．满分12分．
22.设函数 （ ），其中 ．
（Ⅰ）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）当 时，求函数 的极大值和极小值；
（Ⅲ）当 时，证明存在 ，使得不等式 对任意的 恒成立．
本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程，函数的极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．满分14分．
23.设 ，对任意实数 ，记 ．
（I）求函数 的单调区间；
（II）求证：（ⅰ）当 时， 对任意正实数 成立；
（ⅱ）有且仅有一个正实数 ，使得 对任意正实数 成立．
本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．满分15分．
24.已知函数 (x>0)在x = 1处取得极值--3--c，其中a,b,c为常数。
（1）试确定a,b的值；
（2）讨论函数f(x)的单调区间；
（3）若对任意x>0，不等式 恒成立，求c的取值范围。
25.用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
答案
20. （Ⅰ）∵ 为奇函数，
∴
即
∴
∵ 的最小值为
∴
又直线 的斜率为
因此，
∴ ， ， ．
（Ⅱ） ．
，列表如下：
极大
极小
所以函数 的单调增区间是 和
∵ ， ，
∴ 在 上的最大值是 ，最小值是 ．
21. （Ⅰ）解：当 时， ， ，
又 ， ．
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 ．
（Ⅱ）解： ．
由于 ，以下分两种情况讨论．
（1）当 时，令 ，得到 ， ．当 变化时， 的变化情况如下表：
0
0
极小值
极大值
所以 在区间 ， 内为减函数，在区间 内为增函数．
函数 在 处取得极小值 ，且 ，
函数 在 处取得极大值 ，且 ．
（2）当 时，令 ，得到 ，当 变化时， 的变化情况如下表：
0
0
极大值
极小值
所以 在区间 ， 内为增函数，在区间 内为减函数．
函数 在 处取得极大值 ，且 ．
函数 在 处取得极小值 ，且 ．
22. （Ⅰ）解：当 时， ，得 ，且
， ．
所以，曲线 在点 处的切线方程是 ，整理得
．
（Ⅱ）解：
．
令 ，解得 或 ．
由于 ，以下分两种情况讨论．
（1）若 ，当 变化时， 的正负如下表：
因此，函数 在 处取得极小值 ，且
；
函数 在 处取得极大值 ，且
．
（2）若 ，当 变化时， 的正负如下表：
因此，函数 在 处取得极小值 ，且
；
函数 在 处取得极大值 ，且
．
（Ⅲ）证明：由 ，得 ，当 时，
， ．
由（Ⅱ）知， 在 上是减函数，要使 ，
只要
即
①
设 ，则函数 在 上的最大值为 ．
要使①式恒成立，必须 ，即 或 ．
所以，在区间 上存在 ，使得 对任意的 恒成立．
23. （I）解： ．
由 ，得
．
因为当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
故所求函数的单调递增区间是 ， ，
单调递减区间是 ．
（II）证明：（i）方法一：
令 ，则
，
当 时，由 ，得 ，
当 时， ，
所以 在 内的最小值是 ．
故当 时， 对任意正实数 成立．
方法二：
对任意固定的 ，令 ，则
，
由 ，得 ．
当 时， ．
当 时， ，
所以当 时， 取得最大值 ．
因此当 时， 对任意正实数 成立．
（ii）方法一：
．
由（i）得， 对任意正实数 成立．
即存在正实数 ，使得 对任意正实数 成立．
下面证明 的唯一性：
当 ， ， 时，
， ，
由（i）得， ，
再取 ，得 ，
所以 ，
即 时，不满足 对任意 都成立．
故有且仅有一个正实数 ，
使得 对任意正实数 成立．
方法二：对任意 ， ，
因为 关于 的最大值是 ，所以要使 对任意正实数成立的充分必要条件是：
，
即 ， ①
又因为 ，不等式①成立的充分必要条件是 ，
所以有且仅有一个正实数 ，
使得 对任意正实数 成立．
24. 解：（I）由题意知 ，因此 ，从而 ．
又对 求导得
．
由题意 ，因此 ，解得 ．
（II）由（I）知 （ ），令 ，解得 ．
当 时， ，此时 为减函数；
当 时， ，此时 为增函数．
因此 的单调递减区间为 ，而 的单调递增区间为 ．
（III）由（II）知， 在 处取得极小值 ，此极小值也是最小值，要使 （ ）恒成立，只需 ．
即 ，从而 ，
解得 或 ．
所以 的取值范围为 ．
25.（本小题12分）
解：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为
.
故长方体的体积为
从而
令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.
当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜ 时，V′（x）＜0，
故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。
从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.
答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。
编辑者：广州家教（广州家教网)
