一、选择题：
1．(05春北京)在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，则△ABC一定是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形
2．2cos10°－sin20°sin70°的值是( )
A．12 B．32 C．3 D．2
3．f(x)＝sinx cosx1＋sinx＋cosx的值域为( )
A．(―3―1,―1) ∪(―1, 3―1) B．[－2－12,―1) ∪(―1, 2－12]
C．(－3－12,3－12) D．[－2－12,2－12]
4．已知x∈(－π2,0)，cosx＝45，则tan2x等于( )
A．724 B．－724 C．247 D．－247
5．(2004春北京)已知sin(θ＋π)＜0，cos(θ－π)＞0，则下列不等关系中必定成立的是( )
A．tanθ2＜cotθ2， B．tanθ2＞cotθ2， C．sinθ2＜cosθ2， D．sinθ2＞cosθ2．
6．(04江苏)已知0＜α＜π2，tanα2＋cosα2＝52，则sin(α－π3)的值为( )
A．4＋3310 B．4－3310 C．33－410 D．－4＋3310
7．等式sinα＋3cosα＝4m－64－m有意义，则m的取值范围是( )
A．(－1,73) B．[－1,73) C．[－1,73] D．[―73,―1]
8．在△ABC中，tanA tanB＞1是△ABC为锐角三角形的( )
A．充要条件 B．仅充分条件 C．仅必要条件 D．非充分非必要条件
9．已知α.β是锐角，sinα＝x，cosβ＝y，cos(α＋β)＝－35，则y与x的函数关系式为( )
A．y＝―351―x2＋45x (35＜x＜1) B．y＝―351―x2＋45x (0＜x＜1)
C．y＝―351―x2―45x (0＜x＜35) D．y＝―351―x2―45x (0＜x＜1)
10．已知α∈(0,π)，且sinα＋cosα＝15，则tanα的值为( )
A．－43 B．－43或－34 C．－34 D．43或－34
11．(05全国)在△ABC中，已知tanA＋B2＝sinC，则以下四个命题中正确的是( )
(1)tanA•cotB＝1． (2)1＜sinA＋sinB≤2．
(3)sin2A＋cos2B＝1． (4)cos2A＋cos2B＝sin2C．
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
12．函数y＝3sinx2－cosx的值域为( )
A．[－3,3] B．[－3,1] C．[－1, 3] D．[－1,1]
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
二、填空题：
13．(03广州)若x＝π3是方程2cos(x＋α)＝1的解，α∈(0,2π)，则α＝＿＿＿＿＿＿．
14．已知cosθ＋cos2θ＝1，则sin2θ＋sin6θ＋sin8θ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
15．函数y＝3sin(x＋20°)＋5sin(x＋80°)的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿
16．若圆内接四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D把圆周分成AB︵∶BC︵∶CD︵∶DA︵＝4∶3∶8∶5，则四边形四个内角A、B、C、D的弧度数为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
17．设cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23，且π2＜α＜π，0＜β＜π2，求cos(α＋β)．
18．已知f(x)＝2asin2x－22asinx＋a＋b的定义域是[0, π2]，值域是[－5,1]，求a、b的值．
19．(04湖北)已知6sin2α＋sinαcosα－2cos2α＝0，α∈[π2,π)，求sin(2α＋π3)的值．
20．(05北京)在△ABC中，sinA＋cosA＝22，AC＝2，AB＝3，求tanA的值和△ABC的面积．
21．在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝2a，在BC上取一点P，使得AB＋BP＝PD，求tan∠APD的值．
22．是否存在锐角α和β，使α＋2β＝2π3①，且tanα2tanβ＝2－3②，同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．
答案：
1．B 由2sinAcosB＝sin(A＋B) sin(B－A)＝0 B＝A．
2．C 原式＝2cos(30°―20°)―sin20°cos20°＝3cos20°cos20°＝3．
3．B 令t＝sin x＋cos x＝2sin(x＋π4)∈[―2,―1)∪(―1, 2]．
则f(x)＝t2－121＋t＝t－12∈[－2－12,―1)∪(―1, 2－12]．
4．D
5．B ∵sinθ＞0，cosθ＜0，tanθ2－cotθ2＝sinθ2cosθ2－cosθ2sinθ2＝－2cosθsinθ＞0．
∴tanθ2＞cotθ2．
6．B tanα2＋cotα2＝2sinα＝52．∴sinα＝45．cosα＝35．
sin(α－π3)＝12sinα－32cosα＝4－3310．
7．C8．A
9．A y＝cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα
＝―351―x2＋45x＞0 4x＞31―x2 35＜x＜1．
10．A 解：当α∈(0, π2)时，sinα＋cosα＝2sin(α＋π4)＞1．故α∈(π2,π)．
∴sinα＞0,cosα＜0．且|sinα|＞|cosα|∴|tanα|＞1．
由(sinα＋cosα)2＝125 sin2α＝－2425 2tanα1＋tan2α＝－2425．
tanα＝－43或tanα＝－34(舍)．
11．B 解：由tanA＋B2＝1－cos(A＋B)sin(A＋B)＝1＋cosCsinC＝sinC
∴cosC＝0，C＝π2．
∴A＋B＝π2．故①式＝tan2A≠1。②式＝sinA＋cosA＝2sin(A＋π4)∈(1，2]，
③式＝2sin2A≠1，④式＝cos2A＋sin2A＝1＝sin2C．
12．D 解：y＝3sinx2－cosx 3sinx＋ycosx＝2y |sin(x＋φ)|＝|2y|y2＋3≤1．
－1≤y≤1
13．4π3
14．1 解：cosθ＝sin2θ，∴sin6θ＝cos3θ，sin8θ＝cos4θ．
∴sin2θ＋sin6θ＋sin8θ＝cosθ＋cos3θ＋cos4θ＝cosθ＋cos2θ(cosθ＋cos2θ)
＝cosθ＋cos2θ＝1．
15．7 解：y＝3sin(x＋20°)＋5[sin(x＋20°)cos60°＋cos(x＋20°)sin60°]
＝112sin(x＋20°)＋532cos(x＋20°)
＝7sin(x＋20°＋φ)≤7．
16．1120π, 13π20,9π20,7π20 解：∵2π4＋3＋8＋5＝π10．故四条弧所对圆心角分别为4π10，3π10，8π10，5π10．
四内角分别为12(3π10＋8π10)＝1120π．12(8π10＋5π10)＝13π20，9π20，7π20．
17．分析：∵α＋β2＝(α―β2)―(α2－β)．
解：∵α∈(π2,π)β∈(0, π2)．
∴π4＜α－β2＜π，－π4＜α2－β＜π2．
∴由cos(α－β2)＝－19得sin(α－β2)＝459，
由sin(α2－β)＝23．得cos(α2－β)＝53．
∴cosα＋β2＝cos[(α―β2)―(α2―β)]＝…＝7527．
∴cos(α＋β)＝2×(7527)2－1＝－239729．
18．解：令sinx＝t，∵x∈[0, π2]．∴t∈[0,1]．
f(x)＝g(t)＝2at2－22at＋a＋b＝2a(t－22)2＋b．
当a＞0时，则b＝－5a＋b＝1 a＝6b＝－5
当a＜0时，则b＝1a＋b＝－5 a＝－6b＝1 ．
19．解：依题知α≠π2，cosα≠0．
方程可化为6tan2α＋tanα－2＝0． tanα＝－23或12 (舍)．
∴sin(2α＋π3)＝sin2αcosπ3＋cos2α•sinπ3
＝sinαcosα＋32(cos2α－sin2α)＝sinαcosαsin2α＋cos2α＋32•cos2α－sin2α cos2α＋sin2α
＝tanα1＋tan2α＋32×1－tan2α1＋tan2α＝－613＋5326．
20．解：sinA＋cosA＝2cos(A－45°)＝22，
∴cos(A－45°)＝12．
∵0°＜A＜180°，
∴A－45°＝60°，A＝105°，
∴tanA＝tan(60°＋45°)＝―2―3，
sinA＝sin(60°＋45°)＝6＋24，
∴S△ABC＝12AC•AB．sinA＝12×2×3×6＋24＝34(6＋2)．
21．解：如图作PE⊥AD于E．设BP＝X．
则x＋a＝(2a－x)2＋a2，
∴x＝2a3，
∴AE＝BP＝2a3，DE＝PC＝43a，
∴tan∠APD＝tan(∠1＋∠2)＝23＋431－23×43＝18．
22．解1：由①得α2＋β＝π3，
∴tan(α2＋β)＝tanα2＋tanβ1－tanα2tanβ＝3．
将②代入得tanα2＋tanβ＝3－3．
∴tanα2,tanβ是方程x2―(3―3)x＋2－3＝0的两根．
解得x1＝1，x2＝2－3．
若tanα2＝1，则α＝π2与α为锐角矛盾．
∴tanβ＝1, tanα2＝2－3，
∴β＝π4．代入①得α＝π6．满足tanα2＝2－3．
解2：由①得α2＝π3－β，代入②得：
tan(π3－β)•tanβ＝2－3 3－tanβ1＋3tanβ•tanβ＝2－3．
tan2β―(3―3)tanβ＋2－3＝0；tanβ＝1或2－3．
若tanβ＝1，则β＝π4，α＝π6．
若tanβ＝2－3．代入②得cotα2＝1，则α＝π2不合题意．
故存在α＝π6，β＝π4使①、②同时成立．
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