1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．设 为虚数单位，已知复数 ，则 的共轭复数在复平面内表示的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（文）已知函数 是奇函数，当 时， ，则 等于（ ）
A． B． C．0 D．2
（理）二项式 的展开式的常数项为160，则 的值为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知向量 ， 不共线，若 ， ，则“ ， ， 三点共线”是“ 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件
5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入 ， ，则输出 的值为（ ）
A．6 B．7 C．30 D．12
6．已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A．26 B．28 C．52 D．13
7．已知点 ， 分别为双曲线 的左、右焦点， 为双曲线左支上的任意一点，且 ，若 为等腰三角形，则该双曲线的离心率为（ ）A．3 B． C．2 D．
8．已知 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为（ ）A．5 B． C．10 D．
9．已知 ，函数 在 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数 ，若存在 ， ，且 ，使得 成立，则实数 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
11．已知四棱锥 的顶点都在球 的球面上，底面 是矩形，平面 底面 ， 是正三角形， ，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点 的水平距离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题：每题5分，共20分
13．某样本数据的茎叶图如图所示，若该组数据的中位数是85，则该组数据的平均数为 ．
14．一简单组合体的三视图及尺寸如图所示（单位： ），该组合体的体积为 ．
15．已知抛物线 ： 经过圆 ： 的圆心，则抛物线 的准线与圆 相交所得过且过弦长为 ．
16．已知数列 的前 项和为 ，且 ，则使不等式 成立的 的最大值为 ．
三．解答题：17~21每题12分，22题10分，共70分
17．在 中， ， ， 为角 ， ， 的对边，且 ．
（1）求 ；（2）若 ， ，求 ．
18．（理）某市为了扶持所属企业发展，市工贸系统决定对所属企业给予低息贷款的扶持．该系统先根据相关评分标准对各个企业进行了评估，并依据评估得分将企业分别评定为优秀、良好、合格、不合格4个等级，然后根据评估等级分配相应的低息贷款金额，其评估标准和贷款金额如下表：
评估得分
评定类型 不合格 合格 良好 优秀
贷款金额（万元） 0 200 400 800
为了更好地掌控贷款总额，该系统随机抽查了所属部分企业的评估分数，得其频率分布直方图如图所示：
（1）估计该系统所属企业评估得分的中位数；
（2）该系统所属企业对照评分标准进行整改，若整改后优秀企业数量不变，不合格企业、合格企业、良好企业的数量依次成等差数列，且系统所属企业获得贷款的均值（即数学期望）不低于410万元，那么整改后不合格企业占企业总数的百分比的最大值是多少？
（理科18题图） （文科18题图）
（文）某企业员工有500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组 ，第2组 ，第3组 ，第4组 ，第5组 ，得到的频率分布直方图如图所示．
（1）下表是年龄的频数分布表，求正整数 ， 的值；
区 间
人 数 50 50
150
（2）现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？
（3）在（2）的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．
19．（理）如图（1），在矩形 中， ， ， 为 边上的点，且 ， 与 交于 ．现沿 将 折起，连结 、 得到如图（2）所示的几何体．
（1）求证： 平面 ；
（2）当平面 平面 时，求二面角 的余弦值．
（理科19题图） （文科19题图）
（文）如图，在三棱柱 中， 平面 ， ， 为 边上的点，且 ， ．
（1）求证： ；
（2）试探究：在 上是否存在点 ，满足 ∥平面 ？若存在，请指出点 的位置；若不存在，说明理由．
20．在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： 的离心率 ，且过点 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若动点 在直线 ： 上，过 作直线交椭圆 于 ， 两点，使得 ，再过 作直线 ，证明：直线 恒过定点，并求出该定点的坐标．
21．设 ，函数 ．
（1）若 ，求函数 的单调区间；
（2）当 时，函数 取得极值，证明：对于任意的 ， ， ．
四．选考题：请考生在22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号
22．选修4—1：几何证明选讲
如图，直线 经过圆 上的点 ，并且 ， ，圆 交直线 于 、 ．
（1）证明：直线 是圆 的切线；
（2）若 ，圆 的半径为3，求 的长．
23．选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标平面内，直线 过点 ，且倾斜角 ．以坐标原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立坐标系，已知圆 的极坐标方程为 ．
（1）求圆 的直角坐标方程；（2）设直线 与圆 交于 、 两点，求 的值．
24．选修4—5：不等式选讲
设 ， ， 均为正数，且 ．证明：
（1） ；（2） ．
高三数学测试四参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分
答案 C B B C D A C B D B D A
13．85.3；14．44；15． ；16．4；
17．（1） ；（2） ；
18．（理）（1） ；（2）10%；（文）（1） ， ；（2）1，1，4；（3） ；
19．（理）（1）略；（2） ；（文）（1）略；（2） ；
20．（1） （2）过 ；
21．（1）增区间： ， ，减区间： ；（2）略；
22．（1）略；（2）5；
23．（1） ；（2）2；
24．（1）略；（2） ；
编辑者：广州家教（广州家教网)
