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广州家教：珠海二中2017－2018 学年度第一学期期中高三文科数学考试

来源：广州家教中心 日期：2018/9/3
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，满分60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．）
1．已知集合M＝x x  4，N＝  2 x y  log x ，则M N  （ ）
A．4, B．,4 C．0,4 D．0,4
2．已知复数z 满足z 1i 1i ，则 z  （ ）
A． i B．1 C． i D．1
3．命题“ 2 xR, x  4x  4  0 ”的否定是 （ ）
A． 2 xR, x  4x  4  0 B． 2 xR, x  4x  4  0
C． 2
0 0 0 x R, x  4x  4  0 D． 2
0 0 0 x R, x  4x  4  0
4．已知等比数列  n a 的公比为正数，前n 项和为n S ， 1 2 3 4 a  a  2,a  a  6，则 8 S 等于（ ）
A．81 27 3 B．54 C． 8 3 1 D．80
5．已知平面向量a  (1,0)，
1 3
( , )
2 2
b   ，则a与a b的夹角为 （ ）
A．
6
B．
3
C．
3

D．
6

6．函数2 f (x)  (3 x )  ln x 的大致图象为 （ ）
7．多面体MN  ABCD的底面ABCD为矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）
视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则AM 的长为 （ ）
 
p
n 1,S  0
S  p?
1
2n S  S 
n  n 1
n
A． 3 B． 5 C． 6
D．2 2
8．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为o 60 ，30 ，此时气球的高是60m，
则河流的宽度BC 等于 （ ）
A．30 3 B．30 3 1 C．40 3 D．40 3 1
9．设a,b是两条不同的直线， , 是两个不同的平面，则下列命题正．确．的是 （ ）
A．若a // ,b // ，则a // b B．若a  ,b  ,a // b，则 //
C．若a / /b,b / / ,a / / ，则 // D．若a  ,a   ,b   ，则b 
10．执行如图所示的程序框图后，输出的值为4 ，则p 的取值范围
是 （ ）
A．
3 7
4 8
 p  B．
5
16
p 
C．
7 5
8 16
 p  D．
7 5
8 16
 p 
11．设D 表示不等式组
1
1
x
y x
x y
 
 
   
所确定的平面区域，在D 内存在
无数个点落在y＝a（x+2）上，则a 的取值范围是 （ ）
A．R B．（
1
3
，1） C．（0，
1
3
） D．（﹣∞，0]∪[
1
3
，+∞）
12．设 f  x是定义在R 上周期为 2的函数，且对任意的实数x，恒有 f x  f x  0，当x0 ，1
时，   2 f x   1 x ，则函数     1 x g x  f x  e  在区间2018 ，2018上零点的个数为 （ ）
A．2017 B．2018 C．4034 D．4036
二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，满分20 分．）
13．已知
1
cos( )
3 3
  ( )
2
0   ，则sin(  )  ．
第7 题图
 
14．已知矩形 ABCD， AB  2,BC 1，则BDCD  ．
15．已知0 x 函数3 f (x)  x 12x的极小值点，则 0 x ＝ ．
16．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852 年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”
问题的解法传至欧洲．1874 年，英国数学家马西森指出此法符合1801 年由高斯得出的关于同余式
解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”． “中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，
现有这样一个整除问题：将2 至2018 这2017 个数中，能被3 除余1 且被5 除余1 的数，按由小到
大的顺序排成一列，构成数列  n a ，则此数列的项数为 ．
三、解答题（本大题共6 小题，满分70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21
题为必考题，每个试题考生都须作答．第22、23 题为选考题，考生只选其一作答．）
17．（本小题满分12 分）已知函数2 ( ) 2cos( ) sin (sin cos )
2
f x x x x x
    ．
（Ⅰ）求函数 f (x)的单调递增区间；
（Ⅱ）把 y  f (x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再把得到的图
象向左平移
3
个单位，得到函数 y  g(x)的图象，求 )
6
(
g 的值．
18．（本小题满分12 分）已知数列  n a 与  n b 满足1 1 2( ) n n n n a a b b      ， * n N ， 2 1 nb  n  ，
且1 a  2．
（Ⅰ）求数列  n a 的通项公式；
（Ⅱ）设
1
n
n
n n
n
a
c
b   ， n T 为数列  n c 的前n 项和，求n T ．
 
P
A B
D C
M
19．（本小题满分12 分）2017 年年底，某商业集团根据相关评分标准，对所属20 家商业连锁店进
行了年度考核评估，并依据考核评估得分（最低分60 分，最高分100 分）将这些连锁店分别评定为
A，B，C，D 四个类型，其考核评估标准如下表：
评估得分 [60,70） [70,80） [80,90） [90,100]
评分类型 D C B A
考核评估后，对各连锁店的评估分数进行统计分析，得
其频率分布直方图如下：
（Ⅰ）评分类型为A 的商业连锁店有多少家；
（Ⅱ）现从评分类型为A，D 的所有商业连锁店中随机
抽取两家做分析，求这两家来自同一评分类型的概率．
20．（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥P ABCD中，
平面 PAD  平面 ABCD ， AB//CD ， PAD 是等边三角形，已知
BD 2AD8， AB  2DC  4 5．
（Ⅰ）设M 是线段PC上的一点，证明：平面BDM 平面PAD；
（Ⅱ）求四棱锥P ABCD的体积．
21．（本小题满分12 分）已知函数
1
( ) ( )
a
f x a
x
 R ．
（Ⅰ） 当a＝0 时，求曲线f（x）在x ＝1 处的切线方程；
（Ⅱ） 设函数h(x)  aln x  x  f (x)，求函数h（x）的极值；
（Ⅲ） 若g(x)  aln x  x在[1，e]（e＝2．718 28…）上存在一点x0，使得 0 0 g(x )  f (x )成立，
求a 的取值范围．
 
请考生在第22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（本小题满分10 分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线 C 的极坐标方程为  4cos  0，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐
标系，直线l过点M1,0 ,倾斜角为 .
6
（I）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的标准参数方程；
（II）设直线l与曲线C交于A,B 两点，求 MA  MB ．
23．（本小题满分10 分）选修4-5：不等式选讲
已知函数 f (x) | x m|  | 2x 1| (mR)．
（I）当m 1时，求不等式 f (x)  2的解集；
（II）设关于x的不等式 f (x) | 2x 1|的解集为 A，且
3
[ , 2]
4
 A，求实数m的取值范围．
 
珠海市斗门区第一中学2017－2018 学年度第一学期期中考试
高 三 年级 （文数）试题
考试时间 120 分钟，总分 150 分， 命题人： 审题人：
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、
座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．将
条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂
黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定
区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准
使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、
错涂、多涂的，答案无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，满分60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．）
1、已知集合M＝x x  4，N＝  2 x y  log x ，则M N （ ）D
A．4, B．,4 C．0,4 D．0,4
2、已知复数z 满足z 1i 1i ，则 z （ ）B
A． i B．1 C． i D．1
3、命题“ 2 xR, x  4x  4  0 ”的否定是（ ）C
A． 2 xR, x  4x  4  0 B． 2 xR, x  4x  4  0
C． 2
0 0 0 x R, x  4x  4  0 D． 2
0 0 0 x R, x  4x  4  0
 
4、已知等比数列an的公比为正数，前n项和为Sn，a1  a2  2,a3  a4  6，则 8 S 等于（ ）D
A．81 27 3 B．54 C． 8 3 1 D．80
5、已知平面向量a  (1,0)，
1 3
( , )
2 2
b   ，则a与a b的夹角为（ ）B
A．
6
B．
3
C．
3

D．
6

6、函数2 f (x)  (3 x )  ln x 的大致图象为（ ）C
7、多面体MN  ABCD的底面ABCD为矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）
视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则AM 的长为（ ）C
A． 3 B． 5
C． 6 D．2 2
8、如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为o 60 ，30 ，此时气球的高是60m，
则河流的宽度BC 等于（ ）C
A．30 3 B．30 3 1 C．40 3 D．40 3 1
9、设a,b是两条不同的直线， , 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）D
A．若a // ,b // ，则a // b B．若a  ,b  ,a // b，则 //
C．若a / /b,b / / ,a / / ，则 // D．若a  ,a   ,b   ，则b 
 
10、执行如图所示的程序框图后，输出的值为4 ，则p 的取值范围是（ ）A
A．
3 7
4 8
 p  B．
5
16
p  C．
7 5
8 16
 p  D．
7 5
8 16
 p 
11、设D 表示不等式组
1
1
x
y x
x y
 
 
   
所确定的平面区域，在D 内存在无数个点落在y＝a（x+2）上，
则a 的取值范围是（ ）C
A．R B．（
1
3
，1） C．（0，
1
3
） D．（﹣∞，0]∪[
1
3
，+∞）
12、设 f  x是定义在R 上周期为 2的函数，且对任意的实数x，恒有 f x  f x  0，当x0 ，1
时，   2 f x   1 x ，则函数     1 x g x  f x  e  在区间2018 ，2018上零点的个数为（ ）B
A．2017 B．2018 C．4034 D．4036
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，满分20 分．）
13、已知
1
cos( )
3 3
  ( )
2
0   ，则sin(  )  ． 3 2 2
6
14、已知矩形 ABCD， AB  2,BC 1，则BDCD  ．4
15、已知0 x 是函数3 f (x)  x 12x的极小值点，则 0 x ＝ ．2
16、“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852 年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”
问题的解法传至欧洲．1874 年，英国数学家马西森指出此法符合1801 年由高斯得出的关于同余式
解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”． “中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，
现有这样一个整除问题：将2 至2018 这2017 个数中，能被3 除余1 且被5 除余1 的数，按由小到
大的顺序排成一列，构成数列  n a ，则此数列的项数为 ． 134
p
n 1,S  0
S  p?
1
2n S  S 
n  n 1
n
 
三、解答题（本大题共6 小题，满分70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21
题为必考题，每个试题考生都须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答．）
17、（本小题满分12 分）已知函数2 ( ) 2cos( ) sin (sin cos )
2
f x x x x x
    ．
（1）求函数 f (x)的单调递增区间；
（2）把 y  f (x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），再把得到的图象
向左平移
3
个单位，得到函数 y  g(x)的图象，求 )
6
(
g 的值．
解：（1） 2 ( ) 2cos( )sin (sin cos ) sin 2 cos2 2
2
f x x x x x x x
      
2 sin(2 ) 2
4
x
   ……3 分
由2 2 2  ,
2 4 2
k x k k Z
  
        得  
3
,
8 8
k x k k Z
 
       ……5分
所以 f (x)的单调递增区间是  
3
, ,
8 8
k k k Z
 
 
 
    
 
……6 分
（2）由（1）知( ) 2 sin(2 ) 2
4
f x x
   把 y  f (x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵
坐标不变），得到2 sin( ) 2
4
y x
   的图象，再把得到的图象向左平移
3
个单位，得到
( ) 2 sin( ) 2
12
g x x
   的图象， ……10 分
即( ) 2 sin( ) 2
12
g x x
   ，所以( ) 3
6
g
 ． ……12 分
18、（本小题满分12 分）已知数列  n a 与  n b 满足1 1 2( ) n n n n a a b b      ， * n N ， 2 1 nb  n  ，
且1 a  2．
（Ⅰ）求数列  n a 的通项公式；
（Ⅱ）设
1
n
n
n n
n
a
c
b   ， n T 为数列  n c 的前n 项和，求n T ．
解：（Ⅰ）因为1 1 2( ) n n n n a a b b      ， 2 1 nb  n  ，
所以1 1 2( ) 2(2 1 2 1) 4 n n n n a a b b n n           ， ……2 分
 
所以an是等差数列，首项为a1  2，公差为4，即 4 2 na  n  ． ……5 分
（Ⅱ）
1 1
(4 2)
(2 1) 2
(2 1)
n n
n n
n n n
n
a n
c n
b n  
    
． ……6 分
∴ n 1 2 3 n T  c  c  c … c 2 3 1 2 3 2 5 2 (2 1) 2n       … n   ，①
2 3 4 1 2 1 2 3 2 5 2 (2 1) 2n
nT n        …   ，② ……8分
① ②得：
2 3 1 1 2 2 2 2 2 2 2 (2 1) 2 n n
nT n         …    
1
1 4(1 2 )
2 2 (2 1) 2
1 2
n
n n
   
      
  
1 6 (2 3) 2n n       ， ……11 分
∴ 1 6 (2 3) 2n
nT n      ． ……12 分
19、（本小题满分12 分）2017 年年底，某商业集团根据相关评分标准，对所属20 家商业连锁店进
行了年度考核评估，并依据考核评估得分（最低分60 分，最高分100 分）将这些连锁店分别评定为
A，B，C，D 四个类型，其考核评估标准如下表：
评估得分 [60,70） [70,80） [80,90） [90,100]
评分类型 D C B A
考核评估后，对各连锁店的评估分数进行统计分析，得其频率分布直方图如下：
（Ⅰ）评分类型为A 的商业连锁店有多少家；
（Ⅱ）现从评分类型为A，D 的所有商业连锁店中随机抽取两家做分析，求这两家来自同一评
分类型的概率
解：（Ⅰ）评分类型为A的商业连锁店所占的频率为0.020 ? 10 0.2，
所以评分类型为A 的商业连锁店共有0.2 ? 20 4家；………………．4 分
（Ⅱ）依题意评分类型为D 的商业连锁店有3 家，
设评分类型为A 的4 商业连锁店为1 2 3 4 a ,a ,a ,a ，
评分类型为D 的3 商业连锁店为1 2 3 b ,b ,b ，………………………．6 分
从评分类型为A，D 的所有商业连锁店中随机抽取两家的所有可能情况有
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 3 1 4 1 1 1 2 1 3 2 3 2 4 2 1 a ,a , a ,a , a ,a , a ,b , a ,b , a ,b , a ,a , a ,a , a ,b ,
( ) ( ) 2 2 2 3 a ,b , a ,b ,( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 3 1 3 2 3 3 a ,a , a ,b , a ,b , a ,b ,( ) 4 1 a ,b ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 4 3 1 2 1 3 2 3 a ,b , a ,b , b ,b , b ,b , b ,b 共21种，…………………．10分
其中满足条件的共有9 种，………………………．11 分
所以这两家来自同一评分类型的概率为
9 3
21 7
= ．………………………．12 分
20、（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥P ABCD中，平面PAD 平面ABCD， AB//CD，
PAD是等边三角形，已知BD 2AD8， AB  2DC  4 5．
（Ⅰ）设M 是线段PC上的一点，证明：平面BDM 平面PAD；
（Ⅱ）求四棱锥P ABCD的体积．
P
A B
D C
M
 
（Ⅰ）证明：在△ABD中， AD  4，BD  8， AB  4 5，
∵ 2 2 2 AD  BD  AB
  ADB  90 ,即 AD  BD．………………2分
又平面PAD 平面 ABCD，平面PAD 平面 ABCD AD，
BD  平面ABCD，
 BD  平面PAD ，………………………………………………………………4 分
又BD  平面MBD，
平面MBD  平面PAD …………………………………………………………5 分
（Ⅱ）解：过P 作PO  AD交 AD于O，
又∵平面PAD 平面 ABCD，平面PAD 平面ABCD AD，PO 平面PAD，
 PO  平面ABCD…………………………………………………………………6 分
线段PO为四棱锥P ABCD的高，………………………………………………8 分
在四边形 ABCD中，∵ AB∥DC，AB  2DC ，
四边形 ABCD是梯形，在Rt△ADB中，斜边 AB 边上的高为
4 8 8 5
4 5 5
 ，
即梯形ABCD的高为
5
8 5
，………………………………………………10 分
梯形ABCD的面积为
2 5 4 5 8 5
24
2 5
S
   ………………………………11 分
1
24 2 3 16 3
3 P ABCD V      ．…………………………………………………12 分
21、（本小题满分12 分）已知函数
1
( ) ( )
a
f x a
x
 R ．
（Ⅰ） 当a＝0 时，求曲线f（x）在x ＝1 处的切线方程；
（Ⅱ） 设函数h(x)  aln x  x  f (x)，求函数h（x）的极值；
（Ⅲ） 若g(x)  aln x  x在[1，e]（e＝2．718 28…）上存在一点x0，使得 0 0 g(x )  f (x )成立，
求a 的取值范围．
解：（Ⅰ） 当a＝0 时，f （x） ＝
1
x
, f （1） ＝1, 则切点为（1, 1），………………………1
分
P
A B
D C
M
O
 
∵
2
1
f (x)
x
   , ∴切线的斜率为k  f (1)  1, ……………………………………2 分
∴曲线f （x）在点（1, 1）处的切线方程为y1＝ （ x1），即x+ y2＝0…………………3 分
（Ⅱ）依题意
1
( ) ln
a
h x a x x
x
   ，定义域为（0, +∞），
∴
2
2 2 2
1 (1 ) ( 1)[ (1 )]
( ) 1
a a x ax a x x a
h x
x x x x
      
        , ……………………4 分
①当a+1＞0，即 a＞1时，令h(x)  0，∵x＞0，∴0＜x＜1+ a,
此时，h（x） 在区间（0, a+1）上单调递增
令h(x)  0，得 x＞1+ a．
此时，h（x）在区间（a+1,+∞）上单调递减． ……………………………………5 分
②当a+1≤0，即 a≤1时，h(x)  0恒成立， h（x）在区间（0,+∞）上单调递减． ………6分
综上，当a＞1时，h（x）在 x＝1+a处取得极大值 h（1+a）＝aln(1 a)  a  2，无极小值；
当a≤1 时，h（x）在区间（0,+∞）上无极值． ………………………………………7 分
（Ⅲ） 依题意知，在[1, e]上存在一点x0，使得0 0 g(x )  f (x )成立,
即在[1, e]上存在一点x0，使得h（x0）≥0，
故函数
1
( ) ln
a
h x a x x
x
   在[1, e]上，有h（x）max≥0． ………………………………8 分
由（Ⅱ）可知，①当a+1≥e, 即a≥e1 时，h（x）在[1, e]上单调递增，
∴ max
1
( ) (e) e 0
e
a
h x h a
     , ∴
e2 1
e 1
a
,
∵
e2 1
e 1
e 1
 
，∴
e2 1
e 1
a
． ………………………………………………………9 分
②当0＜a+1≤1，或a≤1，即a≤0 时，h（x）在[1, e]上单调递减，
∴ max h(x)  h(1)  11 a  0，∴a ≤2． ……………………………………………10分
③当1＜a+1＜e，即0＜a＜e1 时，
由（Ⅱ）可知，h（x）在x＝1+a 处取得极大值也是区间（0, +∞）上的最大值，
即 h（x）max＝h（1+a）＝aln(1 a)  a  2  a[ln(1 a) 1] 2，
∵0＜ln（a+1）＜1, ∴h（1+a）＜0 在[1, e]上恒成立，
此时不存在x0 使h（x0）≥0 成立．……………………………………………………………11 分
综上可得，所求a 的取值范围是
e2 1
e 1
a
或a≤2． ……………………………………12 分
请考生在第22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
 
22、（本小题满分10 分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线 C 的极坐标方程为  4cos  0，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐
标系，直线l过点M1,0 ,倾斜角为 .
6
（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的标准参数方程；
（2）设直线l与曲线C交于A,B 两点，求 MA  MB ．
解：（1）对于C：由2 2 2   4cos得  4 cos，x  y  4x ……2分
对于l : 有  
3
1
2
1
2
x t
t
y t
为参数
  
 

……4 分
（2）设A,B 两点对应的参数分别为1 2 t , t
将直线l 的参数方程代入圆的直角坐标方程2 2 x  y  4x  0
得
2
2 3 1 3
1+ 4 1 0
2 4 2
t t t
   
           
   
化简得2 t  3t 3  0 ……6分
 
1 2 1 2
2
1 2 1 2 1 2 1 2
3, 3
4 15
t t t t
MA MB t t t t t t t t
    
         
……10 分
23、（本小题满分12 分）选修4-5：不等式选讲[
已知函数 f (x) | x m|  | 2x 1| (mR)．
（I）当m 1时，求不等式 f (x)  2的解集；
（II）设关于x的不等式 f (x) | 2x 1|的解集为 A，且
3
[ , 2]
4
 A，求实数m的取值范围．
解：（I）当m 1时， f (x) | x 1|  | 2x 1|，
f (x)  2 | x 1|  | 2x 1| 2，
 
上述不等式可化为
1
2
1 1 2 2
x
x x
 
     
或
1
1
2
1 2 1 2
x
x x
  
     
或
1
1 2 1 2
x
x x
 
    
解得
1
2
0
x
x
 
  
或
1
1
2
2
x
x
  
  
或
1
4
3
x
x
 
 
……………………………………3 分
∴
1
0
2
 x  或
1
1
2
 x  或
4
1
3
 x  ， ……………………… ……………4分
∴原不等式的解集为
4
{ | 0 }
3
x  x  ．……………………………………………5 分
（II）∵ f (x) | 2x 1|的解集包含
3
[ , 2]
4
，
∴当
3
[ , 2]
4
x 时，不等式 f (x) | 2x 1|恒成立，…………………………………6分
即| x m|  | 2x 1|| 2x 1|在
3
[ , 2]
4
x  上恒成立，
∴| x m| 2x 1 2x 1，
即| x m| 2，∴2  xm 2，………………………………………………7 分
∴x2 m x2在
3
[ , 2]
4
x  上恒成立，…………………………………8 分
∴ max min (x  2)  m (x  2) ， ∴
11
0
4
  m  ，
所以实数m的取值范围是
11
[ ,0]
4
 ．………………………………………………10 分

编辑者：广州家教（广州家教网)