一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．复数 的虚部（ ）
A．i B．﹣i C．1 D．﹣1
2．已知集合 ，则A∩B=（ ）
A．（1，+∞） B．[1，+∞） C．（﹣∞，0]∪（1，+∞） D．[0，1]
3．已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+ ，则f（﹣1）=（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
4．在区间[0，π]上随机取一个数x，使 的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．若| + |=| ﹣ |=2| |，则向量 + 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
6．如果对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数．例如[3.27]=3，[0.6]=0．那么“[x]=[y]”是“|x﹣y|＜1”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．二项式（x2﹣ ）11的展开式中，系数最大的项为（ ）
A．第五项 B．第六项 C．第七项 D．第六和第七项
8．根据如图所示程序框图，若输入m=42，n=30，则输出m的值为（ ）
A．0
B．3
C．6
D．12
9．数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=3Sn（n≥1），则a6=（ ）
A．3×44 B．3×44+1
C．44 D．44+1
10．若α∈（ ，π）且3cos2α=4sin（ ﹣α），则sin2α的值为（ ）
A． B．﹣ C．﹣ D．
11．身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（ ）
A．24种 B．48种 C．36种 D．28种
12．已知函数f（x）的导函数f′（x）=2+sinx，且f（0）=﹣1，数列{an}是以 为公差的等差数列，若f（a2）+f（a3）+f（a4）=3π，则 =（ ）
A．2016 B．2015 C．2014 D．2013
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）
13．将高三（1）班参加体检的36名学生，编号为：1，2，3，…，36，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知样本中含有编号为6号、24号、33号的学生，则样本中剩余一名学生的编号是 ．
14．已知 ，则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|= ．
15．袋子中装有大小相同的6个小球，2红4白，现从中有放回的随机摸球3次，每次摸出1个小球，则至少有2次摸出白球的概率为 ．
16．已知x，y∈R，满足x2+2xy+4y2=6，则z=x2+4y2的取值范围为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量 =（a，c）， =（1﹣2cosA，2cosC﹣1）， ∥
（Ⅰ）若b=5，求a+c值；
（Ⅱ）若 ，且角A是△ABC中最大内角，求角A的大小．
18．（12分）中国乒乓球队备战里约奥运会热身赛暨选拨赛于2016年7月14日在山东威海开赛，种子选手A与非种子选手B1，B2，B3分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，A获胜的概率分别为 ，且各场比赛互不影响．
（Ⅰ）若A至少获胜两场的概率大于 ，则A入选征战里约奥运会的最终名单，否则不予入选，问A是否会入选最终的名单？
（Ⅱ）求A获胜场数X的分布列和数学期望．
19．（12分）已知各项为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且满足
（Ⅰ）求证：{an}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设 ，求证： ．
20．（12分）已知函数f（x）=x﹣2sinx．
（Ⅰ）求函数f（x）在 上的最值；
（Ⅱ）若存在 ，使得不等式f（x）＜ax成立，求实数a的取值范围．
21．（12分）已知函数 ，其中a，b，c∈R．
（Ⅰ）若a=b=1，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a=0，且当x≥0时，f（x）≥1总成立，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）若a＞0，b=0，若f（x）存在两个极值点x1，x2，求证；f（x1）+f（x2）＜e．
[选作题]
22．（10分）已知函数f（x）=|x﹣a|﹣2．
（Ⅰ）若a=1，求不等式f（x）+|2x﹣3|＞0的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|x﹣3|恒成立，求实数a的取值范围．
[选作题]
23．（Ⅰ）已知x2+y2=1，求2x+3y的取值范围；
（Ⅱ）已知a2+b2+c2﹣2a﹣2b﹣2c=0，求证： ．
2016-2017学年黑龙江省哈尔滨师大附中高三（上）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．复数 的虚部（ ）
A．i B．﹣i C．1 D．﹣1
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【专题】转化思想；数系的扩充和复数．
【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．
【解答】解：复数 = =1﹣i的虚部为﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．已知集合 ，则A∩B=（ ）
A．（1，+∞） B．[1，+∞） C．（﹣∞，0]∪（1，+∞） D．[0，1]
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题；函数思想；定义法；集合．
【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．
【解答】解：∵集合 ，
∴A={x|x≤0或x＞1}，B={y|y≥1}，
∴A∩B=（1，+∞）．
故选：A．
【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．
3．已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+ ，则f（﹣1）=（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由奇函数定义得，f（﹣1）=﹣f（1），根据x＞0的解析式，求出f（1），从而得到f（﹣1）．
【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x），f（﹣1）=﹣f（1），
又当x＞0时，f（x）=x2+ ，
∴f（1）=12+1=2，∴f（﹣1）=﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查函数的奇偶性及运用，主要是奇函数的定义及运用，解题时要注意自变量的范围，正确应用解析式求函数值，本题属于基础题．
4．在区间[0，π]上随机取一个数x，使 的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】几何概型．
【专题】计算题；方程思想；演绎法；概率与统计．
【分析】先求出不等式 对应的解集，结合几何概型的概率公式进行求解即可．
【解答】解：∵0≤x≤π， ，
∴ ≤x≤ π，区间长度为 ，
则对应的概率P= = ，
故选：B．
【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件求出不等式等价条件是解决本题的关键．
5．若| + |=| ﹣ |=2| |，则向量 + 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】作 ， ，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则 = ．由| + |=| ﹣ |=2| |，可得四边形OACB为矩形，利用 = 即可得出．
【解答】解：作 ， ，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，
则 = ．
∵| + |=| ﹣ |=2| |，
∴四边形OACB为矩形，
∴ = = ，
∴向量 + 与 的夹角为 ．
故选：B．
【点评】本题考查了向量的平行四边形法则、矩形的性质、直角三角形的边角关系，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．如果对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数．例如[3.27]=3，[0.6]=0．那么“[x]=[y]”是“|x﹣y|＜1”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】充要条件．
【专题】阅读型．
【分析】先根据[x]的定义可知，[x]=[y]⇒|x﹣y|＜1，而取x=1.9，y=2.1，此时满足|x﹣y|=0.2＜1，但[x]≠[y]，根据若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件进行判定即可．
【解答】解：[x]=[y]⇒﹣1＜x﹣y＜1即|x﹣y|＜1
而取x=1.9，y=2.1，此时|x﹣y|=0.2＜1，而[x]=1，[y]=2，[x]≠[y]
∴“[x]=[y]”是“|x﹣y|＜1”的充分而不必要条件
故选A
【点评】判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
7．二项式（x2﹣ ）11的展开式中，系数最大的项为（ ）
A．第五项 B．第六项 C．第七项 D．第六和第七项
【考点】二项式系数的性质．
【专题】二项式定理．
【分析】在二项展开式的通项公式中，根据二项式的展式的通项公式为Tr+1= •x22﹣3r，可得系数最大的项．
【解答】解：二项式（x2﹣ ）11的展式的通项公式为 Tr+1= •x22﹣2r•（﹣1）r•x﹣r = •x22﹣3r，
故当r=6时，展开式的系数 = 最大，
故选：C．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．
8．根据如图所示程序框图，若输入m=42，n=30，则输出m的值为（ ）
A．0 B．3 C．6 D．12
【考点】程序框图．
【专题】计算题；操作型；算法和程序框图．
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：第一次执行循环体后，r=12，m=30，n=12，不满足退出循环的条件；
第二次执行循环体后，r=6，m=12，n=6，不满足退出循环的条件；
第三次执行循环体后，r=0，m=6，n=0，满足退出循环的条件；
故输出的m值为6，
故选：C；
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．
9．数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=3Sn（n≥1），则a6=（ ）
A．3×44 B．3×44+1 C．44 D．44+1
【考点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．
【专题】计算题．
【分析】根据已知的an+1=3Sn，当n大于等于2时得到an=3Sn﹣1，两者相减，根据Sn﹣Sn﹣1=an，得到数列的第n+1项等于第n项的4倍（n大于等于2），所以得到此数列除去第1项，从第2项开始，为首项是第2项，公比为4的等比数列，由a1=1，an+1=3Sn，令n=1，即可求出第2项的值，写出2项以后各项的通项公式，把n=6代入通项公式即可求出第6项的值．
【解答】解：由an+1=3Sn，得到an=3Sn﹣1（n≥2），
两式相减得：an+1﹣an=3（Sn﹣Sn﹣1）=3an，
则an+1=4an（n≥2），又a1=1，a2=3S1=3a1=3，
得到此数列除去第一项后，为首项是3，公比为4的等比数列，
所以an=a2qn﹣2=3×4n﹣2（n≥2）
则a6=3×44．
故选A
【点评】此题考查学生掌握等比数列的确定方法，会根据首项和公比写出等比数列的通项公式，是一道基础题．
10．若α∈（ ，π）且3cos2α=4sin（ ﹣α），则sin2α的值为（ ）
A． B．﹣ C．﹣ D．
【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数．
【专题】三角函数的求值．
【分析】由条件化简可得 3（cosα+sinα）=2 ，平方可得1+sin2α= ，从而解得sin2α的值．
【解答】解：∵α∈（ ，π），且3cos2α=4sin（ ﹣α），
∴3（cos2α﹣sin2α）=4（ cosα﹣ sinα），
化简可得：3（cosα+sinα）=2 ，
平方可得1+sin2α= ，解得：sin2α=﹣ ，
故答案为：C．
【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题．
11．身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（ ）
A．24种 B．48种 C．36种 D．28种
【考点】排列、组合的实际应用．
【专题】排列组合．
【分析】由题意知先使五个人的全排列，共有A55种结果，去掉相同颜色衣服的人相邻的情况，穿红色相邻和穿黄色相邻两种情况，得到结果
【解答】解：由题意知先使五个人的全排列，共有A55=120种结果．
穿红色相邻或穿黄色相邻两种情况，有2A22A44=96种，
穿红色相邻且穿黄色也相邻情况，有A22A22A33=24种，
故：穿相同颜色衣服的人不能相邻的排法是120﹣96+24=48，
故选：B．
【点评】本题是一个简单计数问题，在解题时注意应用排除法，从正面来解题时情况比较复杂，所以可以写出所有的结果，再把不合题意的去掉，属于基础题．
12．（2016•上饶二模）已知函数f（x）的导函数f′（x）=2+sinx，且f（0）=﹣1，数列{an}是以 为公差的等差数列，若f（a2）+f（a3）+f（a4）=3π，则 =（ ）
A．2016 B．2015 C．2014 D．2013
【考点】等差数列的通项公式；导数的运算．
【专题】方程思想；转化思想；导数的综合应用；等差数列与等比数列．
【分析】函数f（x）的导函数f′（x）=2+sinx，可设f（x）=2x﹣cosx+c，利用f（0）=﹣1，可得：f（x）=2x﹣cosx．由数列{an}是以 为公差的等差数列，可得an=a2+（n﹣2）× ．由f（a2）+f（a3）+f（a4）=3π，化简可得6a2﹣ = ．利用单调性可得a2，即可得出．
【解答】解：∵函数f（x）的导函数f′（x）=2+sinx，
可设f（x）=2x﹣cosx+c，
∵f（0）=﹣1，∴﹣1+c=﹣1，可得c=0．
∴f（x）=2x﹣cosx．
∵数列{an}是以 为公差的等差数列，
∴an=a1+（n﹣1）× ，
∵f（a2）+f（a3）+f（a4）=3π，
∴2（a2+a3+a4）﹣（cosa2+cosa3+cosa4）=3π，
∴6a2+ ﹣cosa2﹣ ﹣ =3π，
∴6a2﹣ = ．
令g（x）=6x﹣cos ﹣ ，
则g′（x）=6+sin 在R上单调递增，
又 =0．
∴a2= ．
则 = =2015．
故选：B．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）
13．将高三（1）班参加体检的36名学生，编号为：1，2，3，…，36，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知样本中含有编号为6号、24号、33号的学生，则样本中剩余一名学生的编号是 15 ．
【考点】系统抽样方法．
【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．
【分析】根据系统抽样的定义，求出样本间隔即可．
【解答】解：样本间距为36÷4=9，
则另外一个编号为6+9=15，
故答案为：15．
【点评】本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键．
14．已知 ，则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|= 512 ．
【考点】二项式定理的应用．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理．
【分析】|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|，即（1+x）9展开式的各项系数和，令x=1，可得（1+x）9展开式的各项系数和．
【解答】解：已知 ，则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|，即（1+x）9展开式的各项系数和，
令x=1，可得（1+x）9展开式的各项系数和为|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=29=512，
故答案为：512．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于基础题．
15．袋子中装有大小相同的6个小球，2红4白，现从中有放回的随机摸球3次，每次摸出1个小球，则至少有2次摸出白球的概率为 ．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】对应思想；转化法；概率与统计．
【分析】每次摸到红球的概率都是 ，摸到白球的概率都是 ，由此利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出至少有2次摸出白球的概率．
【解答】解：∵袋子中装有大小相同的6个小球，2红4白，现从中有放回的随机摸球3次，每次摸出1个小球，
∴每次摸到红球的概率都是 ，摸到白球的概率都是 ，
∴至少有2次摸出白球的概率为：
p= （ ）（ ）2+ （ ）3= ，
故选答案为： ．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式的合理运用．
16．（2015•唐山一模）已知x，y∈R，满足x2+2xy+4y2=6，则z=x2+4y2的取值范围为 [4，12] ．
【考点】三角函数的最值．
【专题】三角函数的图像与性质；不等式的解法及应用．
【分析】x2+2xy+4y2=6变形为 =6，设 ， ，θ∈[0，2π）．代入z=x2+4y2，利用同角三角函数基本关系式、倍角公式、两角和差的正弦公式化简整理即可得出．
【解答】解：x2+2xy+4y2=6变形为 =6，
设 ， ，θ∈[0，2π）．
∴y= sinθ，x= ，
∴z=x2+4y2=
= +6
=2×（1﹣cos2θ）﹣ +6
= ，
∵ ∈[﹣1，1]．
∴z∈[4，12]．
故答案为：[4，12]．
【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量 =（a，c）， =（1﹣2cosA，2cosC﹣1）， ∥
（Ⅰ）若b=5，求a+c值；
（Ⅱ）若 ，且角A是△ABC中最大内角，求角A的大小．
【考点】正弦定理．
【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形．
【分析】（Ⅰ）利用平面向量平行的性质，正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理可求sinA+sinC=2sinB，由正弦定理及已知即可得解．
（Ⅱ）由已知利用倍角公式，同角三角函数基本关系式可求sinB，cosB的值，可求2sinA+cosA=2，联立sin2A+cos2A=1即可解得cosA的值，结合A是最大角，即可得解A的值．
【解答】（本大题满分12分）
解：（Ⅰ）因为： ，
所以，2sinAcosC﹣sinA=sinC﹣2sinCcosA，
可得：2sinAcosC+2sinCcosA=2sin（A+C）=sinC+sinA，
所以，sinA+sinC=2sinB，
由正弦定理得2b=a+c=10．….6分
（Ⅱ） ，
又因为sinA+sinC=2sinB=sinA+sin（π﹣A﹣B），
则，2sinA+cosA=2，
又sin2A+cos2A=1，
所以，解得 ，
由于A是最大角，
所以， ．….12分
【点评】本题主要考查了平面向量平行的性质，正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，倍角公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
18．（12分）中国乒乓球队备战里约奥运会热身赛暨选拨赛于2016年7月14日在山东威海开赛，种子选手A与非种子选手B1，B2，B3分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，A获胜的概率分别为 ，且各场比赛互不影响．
（Ⅰ）若A至少获胜两场的概率大于 ，则A入选征战里约奥运会的最终名单，否则不予入选，问A是否会入选最终的名单？
（Ⅱ）求A获胜场数X的分布列和数学期望．
【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．
【专题】综合题；方程思想；演绎法；概率与统计．
【分析】（Ⅰ）利用相互独立事件的概率公式，结合条件，即可求解；
（Ⅱ）据题意，X的可能值为0、1、2、3，求出概率，列出分布列，然后求解期望．
【解答】解：（Ⅰ）记“种子A与非种子B1、B2、B3比赛获胜”分别为事件A1、A2、A3 =
所以，A入选最终名单….6
（Ⅱ）X的可能值为0、1、2、3
所以，X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以，数学期望： …..12
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，考查计算能力．
19．（12分）已知各项为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且满足
（Ⅰ）求证：{an}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设 ，求证： ．
【考点】数列递推式；数列的求和．
【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．
【分析】（1）利用数列递推关系、等差数列的通项公式即可得出．
（2）通过放缩，利用数列的单调性即可证明．
【解答】证明：（1）∵满足 ，
当n=1时，a1=2．
当n≥2时，
由（1）﹣（2）得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣4）=0（an＞0）
则an﹣an﹣1=4，∴{an}是以4为公差的等差数列．an=4n﹣2．
（2）证明：
设 ，则f（n+1）﹣f（n）＜0
所以，{f（n）}递减，
即： …12．
【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、数列的单调性、“放缩”法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．（12分）已知函数f（x）=x﹣2sinx．
（Ⅰ）求函数f（x）在 上的最值；
（Ⅱ）若存在 ，使得不等式f（x）＜ax成立，求实数a的取值范围．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．
【专题】转化思想；分类法；导数的综合应用．
【分析】（1）求出导函数，得出极值点，根据极值点求闭区间函数的最值；
（2）不等式整理得出2sinx﹣（1﹣a）x＞0，构造函数，根据导函数进行分类讨论，即最大值大于零即可．
【解答】（本大题满分12分）
（1）f'（x）=1﹣2cosx， …（2分）
x
y' + 0 ﹣ 0 +
y
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
…（6分）
（2）f（x）＜ax，
∴2sinx﹣（1﹣a）x＞0
设g（x）=2sinx﹣（1﹣a）x，则g'（x）=2cosx﹣（1﹣a）…（7分）
由
①1﹣a≥2即a≤﹣1，此时g'（x）＜0得出g（x）在 单调递减，g（x）＜g（0）=0不成立…（8分）
②1﹣a≤0即a≥1，此时g'（x）＞0得出g（x）在 单调递增，g（x）＞g（0）=0成立…（9分）
③0＜1﹣a＜2即﹣1＜a＜1，令 ，存在唯一 ，使得 ．当x∈（0，x0）时，g'（x）＞0得出g（x）＞g（0）=0，
∴存在 ，有g（x）＞0成立…（11分）
综上可知：a＞﹣1…（12分）
【点评】考查了导函数求闭区间函数的最值和存在问题的转化思想．
21．（12分）已知函数 ，其中a，b，c∈R．
（Ⅰ）若a=b=1，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a=0，且当x≥0时，f（x）≥1总成立，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）若a＞0，b=0，若f（x）存在两个极值点x1，x2，求证；f（x1）+f（x2）＜e．
【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．
【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）问题转化为bx+1≥0在[0，+∞）恒成立，通过讨论b的范围集合函数的单调性从而求出b的范围即可；
（Ⅲ）求出函数的导数，构造新的函数，根据函数的单调性证明即可．
【解答】解：（Ⅰ） ，
f'（x）＞0⇒x＞1或x＜0，f'（x）＜0⇒0＜x＜1，
∴f（x）增区间为（﹣∞，0），（1，+∞），减区间为（0，1）．…（4分）
（Ⅱ） 在[0，+∞）恒成立⇒b≥0…
当b≥0时，f（x）≥1⇔ex﹣bx﹣1≥0．设g（x）=ex﹣bx﹣1，g'（x）=ex﹣b
①当0≤b≤1时，g'（x）≥0⇒g（x）在[0，+∞）单调递增，⇒g（x）≥g（0）=0成立
②当b＞1时，g'（x）=0⇔x=lnb，当x∈（0，lnb）时，
g'（x）＜0⇒g（x）在（0，lnb）单调递减，⇒g（x）＜g（0）=0，不成立
综上，0≤b≤1…（8分）
（Ⅲ）
有条件知x1，x2为ax2﹣2ax+1=0两根， ，
且 ，
由 成立，
作差得： ，
得 ∴f（x1）+f（x2）＜e….12
或由x1+x2=2， ，（可不妨设0＜x1＜1）
设 （0＜x＜1），
在（0，1）单调递增，
h（x）＜h（1）=e，
∴f（x1）+f（x2）＜e成立．
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想、分类讨论思想，是一道综合题．
[选作题]
22．（10分）已知函数f（x）=|x﹣a|﹣2．
（Ⅰ）若a=1，求不等式f（x）+|2x﹣3|＞0的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|x﹣3|恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．
【专题】计算题；分类讨论；函数思想；转化思想；函数的性质及应用．
【分析】（Ⅰ）化简不等式，利用绝对值的几何意义求解即可．
（Ⅱ）设f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣3|≤|a﹣3|，转化不等式为a的不等式，求解即可．
【解答】（本大题满分10分）
解：（Ⅰ）函数f（x）=|x﹣a|﹣2．若a=1，
不等式f（x）+|2x﹣3|＞0，化为：|x﹣1|+|2x﹣3|＞2．
当x≥ 时，3x＞6．解得x＞2，
当x∈（1， ）时，可得﹣x+2＞2，不等式无解；
当x≤1时，不等式化为：4﹣3x＞2，解得x ．
不等式的解集为： …5
（Ⅱ）关于x的不等式f（x）＜|x﹣3|恒成立，可得|x﹣a|﹣2＜|x﹣3|
设f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣3|，
因为|x﹣a|﹣|x﹣3|≤|a﹣3|，
所以，f（x）max=|a﹣3|
即：|a﹣3|＜2
所以，a的取值范围为（1，5）…10
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，不等式恒成立，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．
[选作题]
23．（Ⅰ）已知x2+y2=1，求2x+3y的取值范围；
（Ⅱ）已知a2+b2+c2﹣2a﹣2b﹣2c=0，求证： ．
【考点】不等式的证明．
【专题】选作题；转化思想；演绎法；不等式．
【分析】（Ⅰ）已知x2+y2=1，由柯西公式（x2+y2）（4+9）≥（2x+3y）2，即可求2x+3y的取值范围；
（Ⅱ）由柯西公式[（a﹣1）2+（1﹣b）2+（1﹣c）2]（4+1+1）≥[2（a+1）+（1﹣b）+（1﹣c）]2，即可证明结论．
【解答】（Ⅰ）解：由柯西公式（x2+y2）（4+9）≥（2x+3y）2，
则|2x+3y| ，
∴﹣ ≤2x+3y≤ ．
（Ⅱ）证明：由a2+b2+c2﹣2a﹣2b﹣2c=0，得（a﹣1）2+（1﹣b）2+（1﹣c）2=3，
由柯西公式[（a﹣1）2+（1﹣b）2+（1﹣c）2]（4+1+1）≥[2（a+1）+（1﹣b）+（1﹣c）]2
得证：18≥（2a﹣b﹣c）2，所以 ．
【点评】本题考查柯西公式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
编辑者：广州家教（广州家教网)
