第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1.设复数 ，其中i是虚数单位，则 的模为
A. B. C. D. 1
2.下列说法正确的是
A. “若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ”
B. 在 中，“ ” 是“ ”必要不充分条件
C. “若 ，则 ”是真命题
D. 使得 成立
3.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有堩厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现有程序框图描述，如图所示，则输出结果
A. 4 B. 5 C. 2 D. 3
4.下列四个图中，函数 的图象可能是
5.设实数 满足 ，则 的取值范围是
A. B. C. D.
6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为S为 （注：圆台侧面积公式为）
A. B. C. D.
7.已知 的外接圆的圆心为O，半径为2，且 ，则向量 在向量 方向上的投影为
A. B. C. D.
8.在正三棱柱 中，若 ，则 与 所成角的大小为
A. B. C. D.
9.已知函数 的图象关于直线 对称，则
A. B. C. D.
10.已知函数 是定义在 上的偶函数, 为奇函数， ,当 时， ，则在区间 内满足方程 的实数 为
A. B. C. D.
11.如图，给定由10个点（任意相邻两点距离为1,）组成的正三角形点阵，在其中任意取三个点，以这三个点为顶点构成的正三角形的个数是
A. 12 B. 13 C. 15 D. 16
12.已知函数 在 处取得最大值，以下各式中：① ② ③ ④ ⑤
正确的序号是
A. ②④ B. ②⑤ C. ①④ D. ③⑤
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.设函数 ，则满足 的 取值范围为 .
14.多项式 的展开式中 的系数为 .（用数字作答）
15.有一个电动玩具，它有一个 的长方形（单位：cm）和一个半径为1cm的小圆盘（盘中娃娃脸），他们的连接点为A,E,打开电源，小圆盘沿着长方形内壁，从点A出发不停地滚动（无滑动），如图所示，若此时某人向该长方形盘投掷一枚飞镖，则能射中小圆盘运行区域内的概率为 .
16.设数列 满足 ，且 ，若 表示不超过 的最大整数，则 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17.（本题满分10分）
已知函数
（1）若关于 的方程 只有一个实数解，求实数a的取值范围；
（2）若当 时，不等式 恒成立，求实数a的取值范围.
18.（本题满分12分）
函数 的部分图像如图所示，将 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象.
（1）求函数 的解析式；
（2）在 中，角A,B,C满足 ，且其外接圆的半径R=2，求 的面积的最大值.
19.（本题满分12分）
已知数列 的前 项和 ，n为正整数.
（1）令 ，求证：数列 为等差数列，并求出数列 的通项公式；
（2）令 ，求 .
20.（本题满分12分）为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价，具体划分标准如下表：
从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一个月的用水量，得到右边的茎叶图：
（1）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数的分布列和数学期望；
（2）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到n户月用水用量为第二阶梯水量的可能性最大，求出n的值.
21.（本题满分12分）如图，在各棱长均为2的三棱柱 中，侧面 底面 ，
（1）求侧棱 与平面 所成角的正弦值的大小；
（2）已知点D满足 ，在直线 上是否存在点P,使DP//平面 ？若存在，请确定点P的位置，若不存在，请说明理由.
22.（本题满分12分）已知函数 在定义域内有两个不同的极值点.
（1）求实数a的取值范围；
（2）记两个极值点为 ，且 ，已知 ，若不等式 恒成立，求 的取值范围.
一、选择题 1-12 DCACB DBDDB CA
二、填空题： 13. 14. -6480 15. 16.2016
三：解答题 17.解：（Ⅰ）方程|f（x）|=g（x），即|x2﹣1|=a|x﹣1|，变形得|x﹣1|（|x+1|﹣a）=0，显然，x=1已是该方程的根，从而欲使原方程只有一解，即要求方程|x+1|=a有且仅有一个等于1的解或无解，∴a＜0．…………5分
（Ⅱ）当x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，即（x2﹣1）≥a|x﹣1|（*）对x∈R恒成立，
①当x=1时，（*）显然成立，此时a∈R；
②当x≠1时，（*）可变形为a≤ ，
令φ（x）= =
因为当x＞1时，φ（x）＞2，当x＜1时，φ（x）＞﹣2，所以φ（x）＞﹣2，故此时a≤﹣2．
综合①②，得所求实数a的取值范围是a≤﹣2．…………10分
18.（Ⅰ）由图知 ，解得
∵
∴ ，即
由于 ，因此 ……………………3分
∴
∴
即函数 的解析式为 ………………6分
（Ⅱ）∵
∴
∵
，即 ，所以 或1（舍）， ……8分
由正弦定理得 ，解得
由余弦定理得
∴ ， （当且仅当a=b等号成立）
∴
∴ 的面积最大值为 .……………………12分
19.解：（I）在 中，令n=1，可得 ，即
当 时， ，
.
又 数列 是首项和公差均为1的等差数列.
于是 .……6分
(II)由（I）得 ，所以
由①-②得
……12分
20.解：（1）由茎叶图可知抽取的10户中用水量为一阶的有2户，二阶的有6户，
三阶的有2户。
第二阶梯水量的户数X的可能取值为0,1,2,3 ………………1分
，
，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
………………………5分
EX= ……………………………6分
(2)设Y为从全市抽取的10户中用水量为二阶的家庭户数，依题意得Y～B ,
所以 ，其中 ………………8分
设 …………………10分
若 ，则 ， ；
若 ，则 ， 。
所以当 或 ， 可能最大，
所以 的取值为6。………………12分
21.解：（1)∵侧面 底面 ，作 于点 ，∴ 平面 ．
又 ，且各棱长都相等，
∴ ， ， ．…2分
故以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，则
， ， ， ，
∴ ， ， ．……4分
设平面 的法向量为 ，
则 ,解得 ．由 ．
而侧棱 与平面 所成角，即是向量 与平面 的法向量所成锐角的余角，
∴侧棱 与平面 所成角的正弦值的大小为 …………………6分
（2）∵ ，而
∴ 又∵ ，∴点 的坐标为 ．
假设存在点 符合题意，则点 的坐标可设为 ，∴ ．
∵ ， 为平面 的法向量，
∴由 ，得 ． ……………10分
又 平面 ，故存在点 ，使 ，其坐标为 ，
即恰好为 点．………12分
22.解：（Ⅰ）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），方程f′（x）=0在（0，+∞）有两个不同根； 即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；
（解法一）转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，
如右图．
可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k．
令切点A（x0，lnx0）， 故 ，又 ，故 ，解得，x0=e， 故 ， 故 ．……4分
（解法二）转化为函数 与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点．
又 ，
即0＜x＜e时，g′（x）＞0，x＞e时，g′（x）＜0， 故g（x）在（0，e）上单调增，在（e，+∞）上单调减． 故g（x）极大=g（e）= ；
又g（x）有且只有一个零点是1，且在x→0时，g（x）→﹣∞，在在x→+∞时，g（x）→0，
故g（x）的草图如右图，
可见，要想函数 与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，
只须 ． ……4分
（解法三）令g（x）=lnx﹣ax，从而转化为函数g（x）有两个不同零点，
而 （x＞0），
若a≤0，可见g′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以g（x）在（0，+∞）单调增，
此时g（x）不可能有两个不同零点．
若a＞0，在 时，g′（x）＞0，在 时，g′（x）＜0，
所以g（x）在 上单调增，在 上单调减，从而 = ，
又因为在x→0时，g（x）→﹣∞，在在x→+∞时，g（x）→﹣∞，
于是只须：g（x）极大＞0，即 ，所以 ．
综上所述， ． ……4分
（Ⅱ）因为 等价于1+λ＜lnx1+λlnx2．
由（Ⅰ）可知x1，x2分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，
即lnx1=ax1，lnx2=ax2
所以原式等价于1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），因为λ＞0，0＜x1＜x2，
所以原式等价于 ．
又由lnx1=ax1，lnx2=ax2作差得， ，即 ．
所以原式等价于 ，
因为0＜x1＜x2，原式恒成立，即 恒成立．
令 ，t∈（0，1），
则不等式 在t∈（0，1）上恒成立． ……8分
令 ，
又 = ，
当λ2≥1时，可见t∈（0，1）时，h′（t）＞0，
所以h（t）在t∈（0，1）上单调增，又h（1）=0，h（t）＜0在t∈（0，1）恒成立，符合题意．
当λ2＜1时，可见t∈（0，λ2）时，h′（t）＞0，t∈（λ2，1）时h′（t）＜0，
所以h（t）在t∈（0，λ2）时单调增，在t∈（λ2，1）时单调减，又h（1）=0，
所以h（t）在t∈（0，1）上不能恒小于0，不符合题意，舍去．
综上所述，若不等式 恒成立，只须λ2≥1，又λ＞0，所以λ≥1． …12分
编辑者：广州家教（广州家教网)
