（时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）：
（1）下列说法中，正确的是（ ）
A．第二象限的角是钝角． B．第三象限的角必大于第二象限的角
C． 是第二象限角 D． 是终边相同的角
（2）下列四个等式中，①cos（360°＋300°）＝cos300°；②cos（180°-300°）=cos300°；③cos（180°+300°）=-cos300°；④cos（360°-300°）=cos300°，其中正确的等式有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（3）已知 =（0，1）、 ＝（0，3），把向量 绕点A逆时针旋转90°得到向量 ，则向量 等于（ ）．
A．（-2，1） B．（-2，0） C．（3，4） D．（3，1）
（4）对于函数 ，下列判断正确的是（ ）．
A．周期为 的奇函数 B．周期为 的奇函数
C．周期为 的偶函数 D．周期为 的偶函数
（5）若 ，且 ，则x等于（ ）．
A． B． C． D．
（6）在 中，若 ，则 一定是（ ）．
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
（7）将函数 的图象按向量 平移后的图象的解析式为 ，则 等于（ ）．
A． B． C． D．
（8）已知 =（-2，-3）、ON＝（1，1），点 在线段MN的中垂线上，则x等于（ ）．
A． B． C． D．
（9）已知｜ ｜＝3，b＝（1，2），且 ∥ ，则 的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
（10）在下列各区间中，函数 的单调递增区间是（ ）．
A． B． C． D．
（11）设 是第三象限角，且 ，则 所在象限是（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（12）函数 的图象的一条对称轴的方程是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题（每小题4分，共16分）：
（13）已知点A分 所成的比为 ，则点B分 所成的比为________．
（14） 的值是________．
（15）已知 在同一个周期内，当 时， 取得最大值为2，当 时， 取得最小值为 ，则函数 的一个表达式为_______．
（16）已知| |＝4，| |=2，| -2 ｜＝2， 与 的夹角为 ，则 等于________．
三、解答题：
（17）（10分）已知 、 ，求 的值．
（18）（12分）求与向量 ＝（3，-1）和 ＝（1，3）的夹角均相等，且模为-2的向量的坐标．
（19）（12分）已知 ＝1，求证： ．
（20）（12分）已知｜ ｜＝1，｜ ｜＝2， 与 的夹角为 ．
（Ⅰ）求 · ；
（Ⅱ）向量 ＋ 与向量 - 的夹角为钝角，求实数 的取值范围．
（21）（14分）已知函数 ， ．
（Ⅰ）当函数y取得最小值时，求自变量x的集合．
（Ⅱ）该函数的图象可由 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
（22）（14分）如图，某观测站C在城A的南偏西 方向上，从城A出发有一条公路，走向是南偏东 ，在C处测得距离C处31千米的公路上的B处有一辆正沿着公路向城A驶去，行驶了20千米后到达D处，测得C、D二处间距离为21千米，这时此车距城A多少千米？
参考答案
一、（1）D．
（2）C．①、③、④正确．
（3）A． ， =（-2，0）， ＝ ＋ ＝（-2，1）．
（4）A． ． = ．
（5）B． ， ， ．
（6）B．∵ ，∴ ，∴ ．
（7）C． 化为 ，令 ， ，∴ ， ． ＝ ．
（8）A． ， ，中点为 ． ＝（1，1）-（-2，-3）＝（3，4）， ．∵ ，∴ ，∴ ．
（9）C．设 ，则 ，∴ 为第一、三象限角，求出 、 ，也可用试值法，代入检验．
（10）B． ，作出图象加以判断．
（11）B． 是第三象限角，则 是第二或第四象限角．由 ，故 是第二象限角．
（12）A．把各选择题的直线方程代入函数解析式中，使得 取得最大值1或最小值-1的直线为函数图象的对称轴，化简函数解析式为 ，逐一代入检验，选A．
二、（13）由已知得B是 的内分点，且2| |＝| |，故B分 的比为 ．
（14）
＝
＝ ＝ ＝
．
（15）由已知易得 ，∴ ， ，令 ，则 ，∴ （答案不唯一）．
（16）｜ -2 ｜ ＝（ -2 ） ＝（ ） -4 · ＋4（ ） ＝4 -4 4 2· ．
三、（17） ＝
＝ ．
（18）设所求向量的坐标为 ，由已知得 ，设 与 的夹角为 ，故 ，
，同理 ，故 ．∴ ．代入 中，解得 ， ．∴ ， ．∴ 所求向量为 或 ．
（19）由 ，得 ，故
．又由 ，得
，所以 ，则
．于是 ．
（20）（Ⅰ） · ＝1；
（Ⅱ）（ ＋ ）·（ - ）＝ （ ） ＋（ -1） · - （ ） ＝ ＋ -1-4 ＝ -3 -1．因为 ＋ 与 - 的夹角为钝角，所以（ ＋ ）·（ - ）＜0，令 ，得 ．
（21）（Ⅰ）
＝
，取得最小值必须且只需 ，即 ．所以当函数 取得最小值时，自变量 的集合为 ．
（Ⅱ）将函数 依次进行如下变换：①把函数 的图象向左平移 ，得到函数 的图象，②把所得的图象上各点横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），得到函数 的图象，③把所得的图象上各点的纵坐标缩短到原来的 倍（横坐标不变），得到函数 图象；④把所得的图象向上平移 个单位长度，得到函数 的图象．即得到函数 的图象．
（22）在 中， ， ， ，由余弦定理得 所以 ．在 中，CD＝21，
．由正弦定理得
（千米）．所以此车距城A有15千米．
编辑者：广州家教（广州家教网)
