数学（理科）试题
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一．选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。
1． ，则M ，N两个集合关系正确的是
A． B．
C． D．
2．复数 等于
A． B． C． D．
3．在等差数列 中，若 ，则
A． B． C． D．1
4．某班级要从4名男生．2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女
生，那么不同的选派方案种数为
A．48 B．28 C．24 D．14
5．已知函数 ，是 的反函数，若m+n=6，则 的值为
A．0 B．1 C．2 D．6
6．在△ABC中，角A．B．C的对边分别为a．b．c，若 ，则角B的值是
A． B． C． 或 D． 或
7．把一枚质地均匀六面分别标有1，2，3，4，5，6的小正方体投掷两次，并记第一次出
现的点数为 ，第二次出现的点数为 ，向量 ，则向量 与向量 不共线的概率为
A． B． C． D．
8．若 ,则
A． B．
C． D．
9．已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，它的一条渐近线与x轴的夹角为 ，且 ，则双曲线的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
10．已知一个正三棱锥的侧棱长为4，且侧棱与底面所成的角为 ，则该正三棱锥的体积为
A． B． C． D．
11．已知椭圆的中心为O，右焦点为F，右顶点为G，右准线与x轴的交点为H，则的最大值为
A． B． C． D．
12．已知函数
（ R），则满足 的a的值有
A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13． 的展开式中的常数项是 ．
14．已知不等式 解集为 ，则a + b = _____________．
15．球面上有三个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 ，经过这三个点的小圆的周长为 ，则这个球的表面积为
16．已知实数a，b使函数 是偶函数，则在所有满足条件的偶函数中，图象与 轴交点纵坐标的最大值为 ，最小值为 ．
三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
设函数
（Ⅰ）求函数 的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）当 时，函数 的最小值为2，求此时函数 的最大值，并指出x取何值时函数 取到最大值．
18．（本小题满分12分）
某用人单位招聘规则为：在所有报名人员中举行4次统一测试，如果通过其中2次测试即被录用，不用参加其余的测试，而每人最多也只能参加4次测试．假设某人每次通过测试的概率都是 ，每次测试通过与否互相独立．规定：若前3次都没有通过测试，则不能参加第4次测试．
（Ⅰ）求该人被录用的概率；
（Ⅱ）记该人可以参加测试的次数为 ，求 的分布列及ξ的数学期望．
19．（本小题满分12分）
设数列 的前 项和为 ， ，已知 （n =1，2，3，…）
（Ⅰ）求证： 是等差数列；
（Ⅱ）设 是数列的前 项和，求使 对所有
的 都成立的最大正整数 的值．
20．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱 中，AC=BC=2，
AB= = ，点D是AB的中点，点E是 的中点．
（Ⅰ）求证： ⊥平面CDE；
（Ⅱ）求二面角 的大小．
21．（本小题满分12分）
已知函数 ．
（Ⅰ）求证：当 时，方程 有唯一解；
（Ⅱ）当 时，若 ≥ 在 ∈（０，１］内恒成立，求 的取值范围．
22．（本小题满分12分）
已知抛物线C: （b为常数），A ，B为抛物线上两点，若过A ，B的两条切线相互垂直．
（Ⅰ）求AB中点轨迹E的方程;
（Ⅱ）将（Ⅰ）中曲线E按向量 平移后得到曲线记为F，设F与两坐标轴有三个交点；
（ⅰ）求过这三个交点的圆的方程．
（ⅱ）问圆C′是否经过某定点（其坐标与b无关），若过，求出定点; 若不过，说明理由．
参考答案
一．每小题5分，共60分 DACDB DACBB DD
二．每小题5分，共20分．其中第16题前空2分,后空3分．
13． 60； 14． ； 15． ； 16． 2，-
三．解答题:本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（Ⅰ）
∴
（Ⅱ） （7分）
（8分）
∴ （10分）
18．解：（Ⅰ）记“该人被录用”的事件为事件A，其对立事件为 ，则
（Ⅱ）该生参加测试次数ξ的可能取值为2，3，4，依题意得
分布列为
2 3 4
p 1/9 4/9 4/9
………………………………．11分
故 ……………．．12分
19．解：（Ⅰ）依题意 ， ，故 …1分,
当 时， ① 又 ②
②―①整理得： ，故 为等比数列…………………3分
且 …………4分∴ ……………………………．5分
，即 是等差数列…………………．6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
… …8分．
…………9分，依题意有 ，解得 …11分
故所求最大正整数 的值为 ……………………………………………12分
20．
解法一:（1）证明：
…………………………．5分
（8分）
解法二：以C为坐标原点,射线CA为x轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐 标系C-xyz．依题意有C ,
（3分）
（Ⅰ）
（Ⅱ）解：
21．解（1）原方程为
设
令
令
变化情况如下表：
（0，1） 1 （1，+∞）
－ 0 +
递减 0 递增
即 在 处有一个最小值0，即当 时， >0，∴ =0只有一个解．即当 时，方程 有唯一解………………………6分．
22．解：（Ⅰ）设A ．A,B的中点为M(x, y )
则 （1分） 依题意 又由过两点A,B的切线相互垂直得
从而
即所求曲线E的方程为 y= ……………………………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得曲线F方程为 即 ,令 ＝0，得曲线F与 轴交点是（0，b ）；令 ，由题意b≠-1 且Δ＞0，解得b＜3 且b≠-1． …………………………………………．6分
（ⅰ）方法一：设所求圆的一般方程为 令 ＝0 得 这与 ＝0 是同一个方程，故D＝4， ．…………………．8分．
令 ＝0 得 ，此方程有一个根为b+1，代入得出E＝―b―1．
所以圆C 的方程为 …………………9分
方法二： ①+②得
（ⅱ）方法一：圆C 必过定点（0，1）和（－4，1）．………………………11分
证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边＝0 ＋1 ＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右边＝0，
所以圆C 必过定点（0，1）．同理可证圆C 必过定点（－4，1）．…………………12分
方法二：由 圆C 的方程得 ………………11分
编辑者：广州家教（广州家教网)
